Tłumienie

Najprostszym przypadkiem tłumienia są drgania harmoniczne tłumione liniowo, tj. takie, w których siła tłumiąca jest proporcjonalna do prędkości ciała drgającego. Równanie ruchu tłumionego liniowo oscylatora harmonicznego ma postać:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+b{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=0.}$ 

Równanie to jest zmodyfikowanym równaniem drgań swobodnego oscylatora harmonicznego – dodatkowy człon

${\displaystyle F=-bv=-b{\frac {dx}{dt}},}$ 

reprezentuje współrzędną ${\displaystyle F}$  wektora siły tłumiącej ${\displaystyle {\vec {F}},}$  o której zakłada się, że jest przeciwnie skierowana do prędkości ${\displaystyle {\vec {v}}}$  drgającego ciała i do niej proporcjonalna; stąd wynika znak ${\displaystyle -}$  w powyższym wzorze; ${\displaystyle b\ \left[\mathrm {\frac {kg}{s}} \right]}$  – współczynnik proporcjonalności: im jest większy, tym większe jest tłumienie drgań.

Przyjmując oznaczenia

${\displaystyle \beta ={\frac {b}{2m}}\ \left[\mathrm {\frac {1}{s}} \right]}$  – współczynnik tłumienia,

${\displaystyle \omega _{o}={\sqrt {\frac {k}{m}}}\ \left[\mathrm {\frac {1}{s}} \right]}$  – częstość kołowa oscylatora nietłumionego,

równanie ruchu oscylatora tłumionego liniowo przyjmie postać:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx(t)}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0.}$ 

Równanie oscylatora harmonicznego tłumionego liniowo jest równaniem różniczkowym zwyczajnym 2-go rzędu o stałych współczynnikach. Metoda rozwiązania tego typu równań różniczkowych, podana przez Eulera, polega na założeniu rozwiązania w postaci wykładniczej, zależnej od dwóch niewiadomych:

${\displaystyle x=Ae^{\gamma t},}$ 

gdzie ${\displaystyle A}$  – nieznana amplituda drgań, ${\displaystyle \gamma }$  – nieznana liczba zespolona. Podstawiając to rozwiązanie do równania oscylatora otrzymuje się tzw. równanie charakterystyczne równania różniczkowego:

${\displaystyle \gamma ^{2}+2\beta \gamma +\omega _{o}^{2}=0.}$ 

Równanie to ma dwa pierwiastki ${\displaystyle \gamma _{+}}$  i ${\displaystyle \gamma _{-}}$  (por. rozwiązania równania kwadratowego):

${\displaystyle \gamma _{+}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}},}$ 

${\displaystyle \gamma _{-}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}.}$ 

Równanie ruchu oscylatora jest sumą dwóch funkcji wykładniczych, zawierających pierwiastki ${\displaystyle \gamma _{+}}$  i ${\displaystyle \gamma _{-}}$ ^[3]

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t}+Be^{\gamma _{-}t},}$ 

gdzie ${\displaystyle A}$  i ${\displaystyle B}$  – stałe:

${\displaystyle A={\frac {v(0)-\gamma _{-}x(0)}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}={\frac {v(0)-\gamma _{-}x(0)}{2{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle B={\frac {\gamma _{+}x(0)-v(0)}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}={\frac {\gamma _{+}x(0)-v(0)}{2{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}}}}$ 

oraz:

${\displaystyle x(0)}$  – wychylenie początkowe,

${\displaystyle v(0)}$  – prędkość początkowa.

Powyższe wzory na stałe ${\displaystyle A,B}$  otrzymuje się podstawiając ${\displaystyle t=0}$  do wzorów na ${\displaystyle x(t)}$  oraz ${\displaystyle v(t)}$  i rozwiązując otrzymany układ dwóch równań, przy czym

${\displaystyle v(t)=A\gamma _{+}e^{\gamma _{+}t}+B\gamma _{-}e^{\gamma _{-}t}}$ 

– wzór zależności prędkości oscylatora od czasu; wzór ten uzyskuje się poprzez obliczenie pochodnej po czasie wzoru ${\displaystyle x(t).}$ 

Funkcja ${\displaystyle x(t)}$  jest funkcją wykładniczą, gdy wykładniki ${\displaystyle \gamma _{+}}$  i ${\displaystyle \gamma _{-}}$  są rzeczywiste, co zachodzi, gdy ${\displaystyle \beta ^{2}-\omega _{o}^{2}\geqslant 0;}$  staje się zaś funkcją oscylacyjną, gdy ${\displaystyle \gamma _{+}}$  i ${\displaystyle \gamma _{-}}$  są urojone, co zachodzi, gdy ${\displaystyle \beta ^{2}-\omega _{o}^{2}<0.}$  Podział ten odpowiada opisanym niżej sytuacjom fizycznym.

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgającego definiuje się bezwymiarowy współczynnik tłumienia ${\displaystyle \zeta }$  (zeta):

${\displaystyle \zeta ={\frac {\beta }{\omega _{0}}}={\frac {b}{2{\sqrt {mk}}}}.}$ 

Wartość tłumienia ${\displaystyle \zeta }$  określa zachowanie się układu. Wyróżnia się:

• tłumienie silne ${\displaystyle (\zeta >1)}$  – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według zaniku wykładniczego do równowagi; im większa jest wartość tłumienia ${\displaystyle \zeta }$  tym układ wolniej powraca do równowagi,
• tłumienie krytyczne ${\displaystyle (\zeta =1)}$  – układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji,
• tłumienie słabe ${\displaystyle (0<\zeta <1)}$  – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego; wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu do wartości

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{o}^{2}-\beta ^{2}}}}$ 

– częstość drgań słabo tłumionych,

• brak tłumienia ${\displaystyle (\zeta =0)}$  – układ wykonuje drgania swobodne, tj. o stałej amplitudzie, ze swoją naturalną częstotliwością ${\displaystyle \omega _{o}.}$ 

Przy silnym tłumieniu ${\displaystyle (\zeta >1)}$  rozwiązanie równania ruchu oscylatora ma postać

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t}+Be^{\gamma _{-}t},}$ 

przy czym wykładniki funkcji eksponencjalnych są liczbami rzeczywistymi i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki ${\displaystyle A}$  i ${\displaystyle B}$  decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest ujemny i co do wartości bezwzględnej większy, to po pewnym czasie ${\displaystyle t_{m}}$  (zależnym od położenia początkowego i prędkości początkowej) drugi człon będzie znacznie mniejszy od pierwszego; wówczas można go pominąć – dalej zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t},t>t_{m}.}$ 

Układ o silnym tłumieniu pobudzany siłą harmoniczną określoną wzorem

${\displaystyle F=C\cos(\omega t),}$ 

w stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości równej częstotliwości siły wymuszającej, przesunięte w fazie względem drgań pobudzających, dane wzorem^[4]:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\delta ),}$ 

gdzie amplituda drgań A jest równa:

${\displaystyle A={\frac {C}{\sqrt {4\beta ^{2}\omega ^{2}+(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}},}$ 

a przesunięcie fazowe ${\displaystyle \delta {:}}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\beta \omega }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$ 

Z wzoru na ${\displaystyle A}$  wynika, że amplituda osiąga maksymalną wartość, gdy częstotliwość siły wymuszającej zbliża się do częstotliwości drgań własnych oscylatora, tj. gdy ${\displaystyle \omega \to \omega _{0}.}$  W przypadku drgań tłumionych ${\displaystyle \beta \neq 0,}$  dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań nie osiąga niszczącej wartości (jak ma to miejsce dla drgań nietłumionych: ponieważ ${\displaystyle \beta =0,}$  to amplituda rośnie do nieskończoności dla ${\displaystyle \omega =\omega _{0},}$  co prowadzi do zniszczenie układu).

Dokładniej zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości siły wymuszającej dla różnych wartości tłumienia przedstawia wykres, przy czym przypadek silnego tłumienia odpowiada na wykresie wartościom dużego przesunięcia fazowego ${\displaystyle \delta }$  (krzywe czarnego koloru, mocno spłaszczone), zaś przypadkowi małego tłumienia odpowiadają krzywe o wyraźnych maksimach.

Tłumienie krytyczne zachodzi dla ${\displaystyle \zeta =1,}$  co odpowiada ${\displaystyle \beta ={\omega _{0}}.}$  Jest to sytuacja graniczna między układem oscylującym a nieoscylującym. Układ mający w czasie początkowym ${\displaystyle t=0}$  położenie ${\displaystyle x(0)=A}$  wraca do położenia równowagi w najkrótszym czasie, nie przechodząc przy tym przez położenie równowagi. Rozwiązanie równania ruchu układu ma postać:

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\omega _{0}t},}$ 

Prędkość układu określa wzór:

${\displaystyle v(t)=-A\omega _{0}e^{-\omega _{0}t}=-\omega _{0}x(t).}$ 

Gdy oscylator jest przetłumiony, ale tłumienie jest niewiele większe od krytycznego ${\displaystyle (\zeta =1+\varepsilon }$  i ${\displaystyle \varepsilon \ll 1),}$  to rozwiązanie równania ruchu oscylatora można przybliżyć wzorem:

${\displaystyle x(t)=(A+B\,t)\,e^{-\omega _{0}t},}$ 

gdzie:

${\displaystyle A=x(0),}$ 

${\displaystyle B=v(0)+\omega _{0}x(0).}$ 

Przy dodatnim ${\displaystyle A,}$  funkcja położenia ${\displaystyle x(t)}$  ma miejsce zerowe tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B<0{:}}$  wtedy układ przejdzie tylko raz przez położenie równowagi, a po wychyleniu się w przeciwną stronę będzie nieskończenie długo dochodzić do punktu równowagi; przypadek ${\displaystyle B<0}$  zachodzi, gdy prędkość początkowa jest skierowana w stronę punktu równowagi i większa od ${\displaystyle \omega _{0}x_{0}.}$  Gdy prędkość jest równa ${\displaystyle \omega _{0}x_{0},}$  wówczas znika drugi składnik i układ zachowuje się podobnie jak przy tłumieniu krytycznym, tj. podąża do punktu równowagi po krzywej zaniku wykładniczego.

Układ o tłumieniu zbliżonym do krytycznego jest pobudzany siłą harmoniczną określoną wzorem:

${\displaystyle F=C\cos(\omega t).}$ 

W stanie stacjonarnym układ wykonuje drgania harmoniczne opisane wzorem^[5]:

${\displaystyle x(t)={\frac {C}{\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}}}\cos(\omega t+\delta ),}$ 

gdzie:

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\omega \omega _{0}}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$ 

Słabe tłumienie zachodzi gdy ${\displaystyle 0<\zeta <1.}$ 

Układ wykonuje oscylacje, amplituda drgań zbiega wykładniczo do zera. Równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}\cos({\omega t+\phi _{o}}),}$ 

gdzie:

${\displaystyle \phi _{o}}$  – początkowa faza drgań,

${\displaystyle A}$  – amplituda początkowa.

Faza drgań i amplituda początkowa są parametrami opisującymi warunki początkowe;

${\displaystyle Ae^{-\beta t}}$  – opisuje wykładniczy zanik amplitudy,

${\displaystyle \cos({\omega t+\phi _{o}})}$  – opisuje oscylacje układu.

Częstość kołowa drgań układu ${\displaystyle \omega }$  jest mniejsza od częstości kołowej ${\displaystyle \omega _{0}}$  tego oscylatora bez tłumienia:

${\displaystyle \omega =\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$ 

Układ o słabym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

${\displaystyle F=C\cos(\omega t).}$ 

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami^[6]:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\delta ).}$ 

Amplituda drgań opisana jest wzorem:

${\displaystyle A={\frac {C}{\sqrt {4\beta ^{2}\omega ^{2}+(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}}.}$ 

Przesunięcie fazowe spełnia zależność:

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}$ 

Dla wymuszonych drgań słabo tłumionych w pobliżu rezonansu amplituda drgań osiąga dużą wartość i silnie zależy od częstości wymuszającej. Dokładniej zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości siły wymuszającej dla różnych wartości tłumienia przedstawia wykres, pokazany wyżej, w rozdziale nt. silnego tłumienia, przy czym przypadek słabego tłumienia odpowiada na wykresie wartościom małego przesunięcia fazowego ${\displaystyle \delta }$  (krzywe czarnego koloru o wyraźnych maksimach).

Tłumienie pojawia się, gdy podczas komunikacji sygnały przesyłane są w postaci fal rozchodzących się w medium, które je pochłania lub rozprasza powodując, że tylko część emitowanej w nadajniku energii dociera do odbiornika. Zarówno fale elektromagnetyczne przemieszczające się w powietrzu czy światłowodach, jak i sygnały elektryczne w kablach miedzianych ulegają pochłanianiu lub rozpraszaniu. Tłumienie zależy od parametrów medium oraz odległości między uczestnikami komunikacji.

Prócz stałego oddawania energii w postaci promieniowania, energia sygnału zużywana jest również na przemieszczanie go w medium. Sygnał jest najczęściej falą elektromagnetyczną, która w miarę poruszania się w nośniku zużywa własną energię do pokonywania jego oporów. Wynikiem tego jest nieustanne osłabianie amplitudy sygnału. Im dłuższy przewód, tym więcej oporów sygnał musi pokonać na swojej drodze. Opory te wytłumiają (osłabiają) stopniowo sygnał, tak że po przebyciu pewnej drogi dane niesione przez ów sygnał przestają być czytelne dla odbiorcy.

Tłumienie nie stanowi problemu w sieciach, w których kable są na tyle krótkie, że moc sygnału jest wystarczająca do tego, by dotrzeć do wszystkich przyłączonych do sieci urządzeń. Jeśli wymagane są dłuższe kable, można na nich zamontować wzmacniaki.

Jednym z podstawowych parametrów opisujących zdolność danego łącza do realizacji transmisji (kabel, światłowód, łącze bezprzewodowe) jest tłumienność. Wielkość ta określa spadek mocy sygnału przepływającego przez dane łącze transmisyjne.

Kiedy ciało zawieszone na sprężynie czy nici drga w powietrzu, to siłą przeciwdziałającą jego swobodnemu drganiu jest opór powietrza. Dla małych prędkości opór ten jest proporcjonalny do prędkości ciała, jednak dla dużych prędkości opór rośnie już nieliniowo. Efekt ten jest znacznie silniejszy w przypadku, gdy drganie odbywa się cieczy, np. w wodzie lub oleju.

Także w przypadku przechodzenia fal elektromagnetycznych przez ośrodki materialne w ogólności występuje tłumienie nieliniowe ruchu falowego.

Równania ruchu opisujące tłumienia w sytuacjach nieliniowych na ogół nie mają rozwiązań analitycznych – stosuje się metody numeryczne, jak np. metoda Rungego-Kutty. Przykładowo: w przypadku wahadła o dużych amplitudach drgań samo równanie drgań swobodnych jest równaniem nieliniowym, gdy zaś dochodzi do tego tłumienie nieliniowe, to rozwiązanie analityczne takiego równania staje się niemożliwe.

• dynamiczne równania ruchu
• logarytmiczny dekrement tłumienia
• opór aero(hydro)dynamiczny
• rezonans
• tłumik
• wahadło – w tym: całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła tłumionego (w ogólności równanie różniczkowe liniowe 2-go rzędu o niestałych współczynnikach, z siłą wymuszającą ruch)

Inne:

• czas połowicznego rozpadu
• emisja spontaniczna
• tłumienie strun (muzyka)

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy fizyki. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 110–111. ISBN 83-01-14107-7.
• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloë F. (1977). Quantum Mechanics (Vol. 1). Wiley-Interscience. Section, s. 337–340.
• Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloë F. (1977). Quantum Mechanics (Vol. 2). Wiley-Interscience. Section 11.2: „Semi-Classical Theory of Radiation”.
• Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A., Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2010, s. 509–549 – równania różniczkowe zwyczajne.
• Guter R.S., Janpolski A.R., Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980.
• Smirnow W.I., Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, s. 7–165 – równania różniczkowe zwyczajne.
• A. Palczewski: Równania różniczkowe zwyczajne. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. Brak numerów stron w książce