Stopa hazardu

Stopa hazardu spełnia zależność:

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)=\int \limits _{0}^{t}\gamma _{P}(s)ds,}$  dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0,}$ 

gdzie:

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)}$  – funkcja hazardu,

${\displaystyle \gamma _{P}(t)}$  – stopa hazardu.

Jeżeli zmienna ${\displaystyle \tau }$  posiada gęstość ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P},}$  wówczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:

${\displaystyle \gamma _{P}(t)={\frac {{\mathcal {f}}_{P}(t)}{1-F_{P}(t)}}.}$ 

Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu ${\displaystyle \gamma _{P}}$  istnieje, wówczas ${\displaystyle \tau }$  posiada gęstość postaci:

${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}.}$ 

Załóżmy, że ${\displaystyle \tau }$  ma gęstość ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}.}$  Chcemy pokazać, że:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\Gamma _{P}(t)}$ 

Wyliczając całkę po lewej, otrzymujemy:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {F'_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=-ln(1-F_{P}(t))=\Gamma _{P}(t),}$ 

gdyż ${\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}(s)=F'_{P}(s)}$  dla prawie wszystkich ${\displaystyle s\in [0,\infty ).}$ 

Jeżeli stopa hazardu ${\displaystyle \gamma _{P}}$  istnieje i ${\displaystyle {\mathcal {\gamma }}_{P}(t)=\Gamma '_{P}(t)}$  dla prawie wszystkich ${\displaystyle t\in [0,\infty ),}$  wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:

${\displaystyle F_{P}(t)=1-e^{-\Gamma _{P}(t)},}$ 

gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

${\displaystyle F'_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}={\mathcal {f}}_{P}(t)}$  dla prawie wszystkich ${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$  ${\displaystyle \Box }$ 

• Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0{:}}$ 

${\displaystyle \gamma _{P}(t)=\lambda ,}$ 

${\displaystyle \Gamma _{P}(t)=\lambda t.}$ 

• Dla rozkładu gamma o parametrach ${\displaystyle k=3}$  oraz ${\displaystyle \theta =2}$  stopa hazardu wyraża się wzorem:

${\displaystyle \gamma _{P}(t)={\frac {4t^{2}}{2t^{2}+2t+1}},}$  dla każdego ${\displaystyle t\geqslant 0.}$