Słaba topologia
Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).
Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej o nietrywialnej przestrzeni sprzężonej (topologicznie) jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń
jeśli jest (mocną) topologią w to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.
Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg elementów przestrzeni , w którym kolejne elementy mają na -tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.
Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.
Własności
edytujNiech będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni taką, że dla każdego niezerowego istnieje taki, że Wówczas
- jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
- rodzina jest zawarta w przestrzeni sprzężonej ponadto jeśli sama jest przestrzenią liniową, to
- podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje że dla każdego
- ciąg punktów przestrzeni jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
- Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
- Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
- Twierdzenie Mazura: Niech będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt jest słabą granicą ciągu punktów tej przestrzeni, to jest (mocną) granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru
Topologia *-słaba
edytujNiech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego można określić funkcjonał dany wzorem
Dla każdego funkcjonał jest liniowy ponadto dla każdego istnieje taki, że
Topologię wprowadzoną w zbiorze przez rodzinę nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem
Przestrzeń jest lokalnie wypukła, a rodzina
jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
- Jeżeli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
- Jeżeli jest przestrzenią unormowaną oraz oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni to wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną.
Bibliografia
edytuj- Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.