Równanie fali elektromagnetycznej

Jeżeli fala rozchodzi się w próżni, to

${\displaystyle c_{m}=c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2{,}99792458\cdot 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}}$ 

oznacza prędkość światła w próżni – stałą fizyczną, która definiuje metr, podstawową jednostkę długości w układzie SI. Przenikalność magnetyczna ${\displaystyle \mu _{0}}$  i przenikalność elektryczna próżni ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  to ważne stałe fizyczne odgrywające ważną rolę w teorii elektromagnetyzmu. Ich wartości^[2] (w jednostkach układu SI) podano w tabeli poniżej:

Prędkość światła w liniowym, izotropowym niedyspersyjnym ośrodku materialnym wynosi

${\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}},}$ 

gdzie

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}$ 

jest współczynnikiem załamania ośrodka, ${\displaystyle \mu }$  jest przenikalnością magnetyczna ośrodka, a ${\displaystyle \varepsilon }$  przenikalnością elektryczną ośrodka.

Zasada zachowania ładunku wymaga, aby tempo zmiany całkowitego ładunku zamkniętego w objętości V było równe sumie algebraicznej prądów płynących przez powierzchnię S otaczającą tę objętość:

${\displaystyle \oint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}\rho \cdot dV,}$ 

gdzie j to gęstość prądu (w amperach na metr kwadratowy) płynącego przez powierzchnie, a ρ – gęstość ładunku elektrycznego (w kulombach na metr sześcienny) w każdym punkcie objętości V.

Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wyrażenie to można przekształcić z postaci całkowej na postać różniczkową:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.}$ 

W swojej oryginalnej postaci prawo Ampera wiąże pole magnetyczne B z gęstością objętościową prądu j:

${\displaystyle \oint \limits _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\iint \limits _{S}\mu \mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,}$ 

gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} .}$ 

Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \mu _{0}\mathbf {j} .}$ 

Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0.}$ 

Łącząc te dwa równania, otrzymujemy

${\displaystyle \nabla \cdot \mu _{0}\mathbf {j} =0.}$ 

Ponieważ ${\displaystyle \mu _{0}}$  to niezerowa stała, możemy stwierdzić

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =0.}$ 

Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.}$ 

Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.

Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem

${\displaystyle \oint \limits _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \limits _{V}\rho \cdot dV,}$ 

gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

${\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon _{0}\mathbf {E} =\rho .}$ 

Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:

${\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}.}$ 

To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw. prąd przesunięcia:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$ 

Tak więc prawo Ampera w postaci uogólnionej wyraża równanie

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$ 

W swojej pracy z roku 1864 zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego Maxwell wykorzystał swoją poprawkę do prawa Ampera, którą opublikował w trzeciej części pracy z 1861 roku pt. O fizycznych liniach sił^[3]. W części czwartej zatytułowanej Elektromagnetyczna teoria światła^[4] Maxwell powiązał prąd przesunięcia z innymi równaniami elektromagnetyzmu i otrzymał równanie fali o prędkości równej prędkości światła. Komentując to:

Zgodność wyników pozwala stwierdzić, że światło i magnetyzm są manifestacją tegoż samego zjawiska, tak więc światło zgodnie z prawami elektromagnetyzmu jest elektromagnetycznym zaburzeniem rozchodzącym się w polu^[5].

Maxwellowskie wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej we współczesnej fizyce zastąpione zostało bardziej przystępną metodą, korzystającą z poprawionego prawa Ampera i prawa Faradaya.

Aby otrzymać równanie fali elektromagnetycznej współczesną metodą, korzystamy z postaci równań Maxwella opracowanych przez Heaviside’a. Dla próżni równania te przybierają postać:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,}$ 

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$ 

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$ 

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$ 

Działając operatorem rotacji na obie strony równań zawierających operator rotacji, otrzymujemy:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}},}$ 

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}.}$ 

Korzystając z tożsamości wektorowej

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} ,}$ 

gdzie ${\displaystyle \mathbf {V} }$  to dowolna funkcja wektorowa przestrzeni, otrzymujemy równania falowe:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-{c}^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} =0,}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-{c}^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} =0,}$ 

gdzie

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2{,}99792458\cdot 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}}$ 

to prędkość światła w próżni.