Równania Kirchhoffa

Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta ${\displaystyle S^{(-)}}$  w punkcie jego osi o współrzędnej ${\displaystyle s,}$  daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju

gdzie ${\displaystyle \mathbf {P} _{o}}$  i ${\displaystyle \mathbf {M} _{o}}$  są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego ${\displaystyle s=0,}$  a

są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.

Wektory ${\displaystyle \mathbf {r} _{o}=\mathbf {r} (s=0),\,\mathbf {r} _{\sigma }=r(s=\sigma ),\,\mathbf {r} _{s}=r(s)}$  są wektorami wodzącymi punktów ${\displaystyle 0,L,S}$  na osi łuku.

Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.

W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju ${\displaystyle dS^{(-)}}$  otrzymujemy

stąd zaś

Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$  o współrzędnej ${\displaystyle s}$  i normalnej zewnętrznej ${\displaystyle -\,\mathbf {e} _{1}.}$  W tym celu napiszemy

gdzie:

• ${\displaystyle N}$  – siła podłużna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{1},}$ 
• ${\displaystyle Q}$  – siła poprzeczna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{2},}$ 
• ${\displaystyle T}$  – siła poprzeczna w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{3},}$ 
• ${\displaystyle M_{s}}$  – moment skręcający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{1},}$ 
• ${\displaystyle M_{n}}$  – moment zginający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{2},}$ 
• ${\displaystyle M}$  – moment zginający o wektorze w kierunku osi ${\displaystyle 0\xi _{3}.}$ 

Korzystając z (7), możemy na podstawie (2) napisać

Na podstawie (6) i (7) mamy

Porównując współrzędne wektorów (8)–(11) i uwzględniając (7), otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaci^[1]

Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy ${\displaystyle \tau \equiv 0}$ ) ten układ równań przybiera postać^[1]

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to ${\displaystyle q_{3}=m_{1}=m_{2}=0}$  i gdy ${\displaystyle T=M_{s}=M_{n}=0,}$  wówczas równania (13) przyjmują postać

${\displaystyle N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad M^{'}=m_{3}-Q.}$ 

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia ${\displaystyle q_{3},\,m_{1},\,m_{2}}$  ${\displaystyle (q_{1}=q_{2}=m_{3}=0)}$  i gdy ${\displaystyle N=Q=M=0,}$  wtedy mamy zamiast (13)

${\displaystyle T^{'}=q_{3},\quad M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T.}$ 

Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy ${\displaystyle \kappa \equiv \mathrm {const} }$  ) równania (13) dają się rozprzęgnąć do postaci

W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy ${\displaystyle \kappa \equiv 0}$ ) otrzymujemy

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami (12). W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych ${\displaystyle s}$  i ${\displaystyle s+ds.}$  Konsekwencją tych przecięć jest powstanie czterech przekrojów poprzecznych:

${\displaystyle S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.}$ 

Znaki ${\displaystyle (+),\,(-)}$  określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}.}$ 

Ze środkiem ciężkości ${\displaystyle s}$  przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$  zwiążemy teraz układ współrzędnych ${\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$  Siły przekrojowe ${\displaystyle N,Q,T,M_{s},M_{n},M}$  w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu ${\displaystyle s}$  wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju ${\displaystyle S^{(-)}.}$ 

Wykorzystując oznaczenia (9) i (10), możemy dla przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$  napisać

${\displaystyle \mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s},\mathbf {M} _{s}],}$ 

a dla przekroju ${\displaystyle dS^{(-)}}$ 

${\displaystyle \mathbf {F} _{s}+d\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s},\;\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}].}$ 

Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element ${\displaystyle (s,s+ds)}$  wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez

${\displaystyle \mathbf {f} (s)=\mathbf {q} (s)+\mathbf {m} (s),}$ 

to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)

${\displaystyle -d\mathbf {F} _{s}+\mathbf {f} (s)ds=0\quad \to \quad {\tfrac {d}{ds}}\mathbf {F} (s)=\mathbf {f} (s).}$ 

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej ${\displaystyle EI,}$  poddanemu tylko obciążeniu ${\displaystyle q_{2},}$  mamy zgodnie z teorią Eulera-Bernoulliego

${\displaystyle EIw^{''}(s)=M(s).}$ 

Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się

${\displaystyle EIw^{'''}(s)=-Q(s),\quad EIw^{''''}=-\,q_{2}(s).}$ 

Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego ${\displaystyle s}$  wyrażającego długość rozważanej krzywej. Związek ${\displaystyle s(t)}$  tego parametru ze zmienną ${\displaystyle t}$  stosowaną w zapisie równań o postaci

daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu

${\displaystyle x=r\cos t=r\cos {\tfrac {s}{r}},\quad y=r\sin t=r\sin {\tfrac {s}{r}},\quad \mathbf {s(t)=rt} .}$ 

W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką

której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach (3) są funkcjami zmiennej ${\displaystyle s}$  (a nie ${\displaystyle t}$ !), co wymaga podstawienia zależności ${\displaystyle t=t(s)}$  we wzorach (0). Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu ${\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}}$  lub dla spirali kołowej ${\displaystyle t(s)={\tfrac {s}{r}}\cos \varphi .}$ 

Nawet jeżeli całka we wzorze (b) daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej ${\displaystyle t(s)}$  może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci płaskiej paraboli

${\displaystyle x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=0,}$ 

dla której^[5]

${\displaystyle s(t)=2\!\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+\tau ^{2}}}d\tau =t{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\ln \left(t+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}\right)-{\tfrac {1}{4}}\ln({\tfrac {1}{2}}).}$ 

Jak wynika ze wzoru (c) funkcja ${\displaystyle s(t)}$  jest silnie rosnąca i dlatego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych ${\displaystyle s}$  i ${\displaystyle t.}$  Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności ${\displaystyle t(s)}$  nie jest możliwe.

W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami (a), obliczanie całek

${\displaystyle \int _{0}^{s}\!\!x_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!x[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!y_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!y[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!z_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!z[t(\sigma )]d\sigma ,}$ 

występujących we wzorach (3) wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania ${\displaystyle (0,\,s)}$  na ${\displaystyle n}$  podprzedziałów i obliczenia rzędnych ${\displaystyle x_{i},\,y_{i},\,z_{i}}$  funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych ${\displaystyle s_{i}.}$  I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga ${\displaystyle n+1}$  krotnego, numerycznego rozwiązywania równań ${\displaystyle s(t)=s_{i}}$  w celu wyznaczenia rzędnych ${\displaystyle t_{i}(s_{i}).}$ 

1. Spirala kołowa prawoskrętna wokoło osi ${\displaystyle 0z.}$ 
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,}$ 

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych ${\displaystyle 0xyz.}$  Wersory tych osi oznaczymy przez ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .}$ 

Oś pręta jest linią śrubową, czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu ${\displaystyle r.}$  Skok spirali wynosi ${\displaystyle hr.}$ 

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej ${\displaystyle s}$  liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie ${\displaystyle s=0}$  o współrzędnych ${\displaystyle (r,\,0,\,0).}$ 

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej ${\displaystyle s=r{\sqrt {4\pi ^{2}+h^{2}}}\;\;(t=2\pi )}$  i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej ${\displaystyle s=0.}$ 

Pręt jest obciążony siłą skupioną ${\displaystyle \mathbf {P} =-P\mathbf {k} }$  w przekroju ${\displaystyle s=0}$  i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym ${\displaystyle \mathbf {q} (s)=-q\mathbf {k} }$  liczonym na jednostkę długości osi pręta.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu ${\displaystyle s}$  wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu współrzędnych Freneta ${\displaystyle 0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$  Wersory tego układu mają w układzie ${\displaystyle 0xyz}$  następujące współrzędne

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\cos \varphi \cos t,\;\sin \varphi ),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),}$ 

gdzie ${\displaystyle \varphi }$  jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny ${\displaystyle 0xy.}$ 

Wartości sił w przekroju ${\displaystyle S^{(-)}}$  o współrzędnej ${\displaystyle s}$  oblicza się ze wzorów

${\displaystyle P_{x}=0,\quad P_{y}=0,\quad P_{z}=-P-\int _{0}^{s}qd\sigma =-(P+qs),}$ 

${\displaystyle P_{1}=N=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=-(P+qs)\sin \varphi ,}$ 

${\displaystyle P_{2}=Q=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=0,}$ 

${\displaystyle P_{3}=T=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-(P+qs)\cos \varphi .}$ 

${\displaystyle M_{x}=Py_{s}+\int _{0}^{s}qy_{\sigma }d\sigma =Pr\sin \alpha s+{\tfrac {qr}{\alpha }}(1-\cos \alpha s),}$ 

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=r\sin \alpha s,\quad \sigma \in [0,s],}$ 

${\displaystyle M_{y}=P(r-x_{s})+\int _{0}^{s}q(x_{\sigma }-x_{s})d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+}$ 

${\displaystyle {}\qquad +q\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -qx_{s}\int _{0}^{s}d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+{\tfrac {qr}{\alpha }}\sin \alpha s-qrs\cos \alpha s,}$ 

${\displaystyle M_{z}=0,}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} \\[2pt]&=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}&=M_{s}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}\\[2pt]&=(-\cos \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(\cos \varphi \cos \alpha s)M_{y},\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=M_{n}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=-\cos \alpha s\,M_{x}-\sin \alpha s\,M_{y},\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{3}&=M=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}\\[2pt]&=(\sin \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(-\sin \varphi \cos \alpha s)M_{y}.\end{aligned}}}$ 

2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi ${\displaystyle 0y.}$ 

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,\quad z(t)=r\sin t,}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\quad {\dot {y}}(t)={\tfrac {hr}{2\pi }},\quad {\dot {z}}(t)=r\cos t,}$ 

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}=r\kappa dt,}$ 

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {1+{\tfrac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}}},\quad {\tfrac {1}{\kappa }}=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \kappa }}=\sin \varphi ,}$ 

gdzie ${\displaystyle \varphi }$  jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny ${\displaystyle 0zx,}$ 

${\displaystyle x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\quad y^{'}(s)=\sin \varphi ,\quad \cos \varphi \cos t,}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\sin \varphi ,\;\cos \varphi \cos t),}$ 

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\sin t,\quad \rho ={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi }},}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(-\sin \varphi \sin t,\;-\cos \varphi ,\;\sin \varphi \cos t).}$ 

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny ${\displaystyle \mathbf {q} =-q\mathbf {k} .}$  Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}=P_{x}\mathbf {i} +P_{y}\mathbf {j} +P_{z}\mathbf {k} =-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} d\sigma =-qs\mathbf {k} ,}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} \times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma =-q\int _{0}^{s}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[1ex]0&0&1\\x_{\sigma }-x_{s}&y_{\sigma }-y_{s}&z_{\sigma }-z_{s}\end{vmatrix}}d\sigma \\[1ex]&=-q\int _{0}^{s}\left[-(y_{\sigma }-y_{s})\mathbf {i} +(x_{\sigma }-x_{s})\mathbf {j} \right]d\sigma \\[1ex]&=-q\left[(-\int _{0}^{s}y_{\sigma }d\sigma +\int _{0}^{s}y_{s}d\sigma )\mathbf {i} +(\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -\int _{0}^{s}x_{s}d\sigma )\mathbf {j} \right]\\[1ex]&=-qrs\left[{\tfrac {h\alpha s}{4\pi }}\mathbf {i} +({\tfrac {1}{\alpha s}}\sin \alpha s-\cos \alpha s)\mathbf {j} \right]=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$ 

gdzie:

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=x(s)=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=y(s)={\tfrac {hr}{2\pi }}\alpha s,}$ 

${\displaystyle M_{i}=\mathbf {M} _{s}\mathbf {e} _{i}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{i}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{i},\quad i=1,2,3,}$ 

${\displaystyle M_{1}=M_{x}(-\cos \varphi \sin t)+M_{y}(\sin \varphi ),}$ 

${\displaystyle M_{2}=M_{x}(-\cos t),}$ 

${\displaystyle M_{3}=M_{x}(-\sin \varphi \sin t)+M_{y}(-\cos \varphi ).}$ 

3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej ${\displaystyle \mathbf {b} =(0,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}$ 

Oś pręta jest opisana parametrycznie

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\cos \alpha \sin t,\quad z(t)=r\sin \alpha \sin t}$ 

względem układu współrzędnych ${\displaystyle 0xyz.}$ 

Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(-\sin t,\,\cos \alpha \cos t,\,\sin \alpha \cos t),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\,-\cos \alpha \sin t,\,-\sin \alpha \sin t),}$ 

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(0,\,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).}$ 

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej ${\displaystyle t=0}$  i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy ${\displaystyle t=2\pi .}$  Przekrój początkowy ${\displaystyle S^{(-)}}$  jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym ${\displaystyle \mathbf {M} =M\mathbf {j} .}$ 

Siły przekrojowe mają wartości

${\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=0,}$ 

${\displaystyle M_{x}=0,\;M_{y}=M,\;M_{z}=0,}$ 

${\displaystyle \mathbf {M} _{s}=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} =M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},}$ 

${\displaystyle M_{1}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=M\cos \alpha \cos t,}$ 

${\displaystyle M_{2}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=-M\cos \alpha \sin t,}$ 

${\displaystyle M_{3}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-M\sin \alpha .}$