Promień spektralny

Niech ${\displaystyle A}$  będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech ${\displaystyle a}$  będzie dowolnym elementem ${\displaystyle A.}$  Wówczas

• widmo ${\displaystyle \sigma _{A}(a)}$  jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli ${\displaystyle a\neq 0,}$  to promień spektralny ${\displaystyle \nu _{A}(a)}$  jest dodatni.
• dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$  oraz dla każdego ${\displaystyle r>\nu _{A}(a)}$ 

${\displaystyle a^{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{|z|=r\}}\zeta ^{k}(\zeta e_{A}-a)^{-1}d\zeta ,}$ 

• ${\displaystyle \nu _{A}(a)=\inf\{\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}\colon \;n\in \mathbb {N} \}=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}.}$ 

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941^[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

${\displaystyle \nu _{A}(a)=\max\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\}.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle a}$  jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle E}$  tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej ${\displaystyle E}$  jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz ${\displaystyle T,T_{1},T_{2}\colon E\to E}$  są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

• Jeżeli ${\displaystyle \lambda }$  jest skalarem, to

${\displaystyle \nu (\lambda T)=|\lambda |\nu (T).}$ 

• Jeżeli ${\displaystyle k}$  jest liczbą naturalną, to

${\displaystyle \nu (T^{k})=\nu (T)^{k}.}$ 

• ${\displaystyle \nu (T_{1}T_{2})=\nu (T_{2}T_{1}),}$  jeżeli ponadto ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1},}$  to

${\displaystyle \nu (T_{1}T_{2})\leqslant \nu (T_{1})\nu (T_{2}),}$ 

${\displaystyle \nu (T_{1}+T_{2})\leqslant \nu (T_{1})+\nu (T_{2}).}$ 

• Jeżeli ${\displaystyle E}$  jest przestrzenią Hilberta oraz ${\displaystyle T}$  jest operatorem normalnym, to

${\displaystyle \nu (T)=\|T\|.}$ 

Niech ${\displaystyle A}$  będzie C*-algebrą oraz nieh ${\displaystyle I\subseteq A}$  będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w ${\displaystyle A}$ ). Niech ${\displaystyle \pi \colon A\to A/I}$  oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. ${\displaystyle \pi (x)=[x](x\in A).}$  Wówczas dla dowolnego ${\displaystyle x\in A}$  oraz liczby naturalnej ${\displaystyle k}$  zachodzą wzory

${\displaystyle \|\pi (x^{k})\|=\inf _{y\in I}\|(x+y)^{k}\|}$ 

oraz

${\displaystyle \nu {\big (}\pi (x){\big )}=\inf _{y\in I}\nu (x+y).}$ 

Jest to twierdzenie udowodnione przez G.K. Pedersena^[2].

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.