Miara ściśle dodatnia

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$  będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$  będzie σ-algebrą na ${\displaystyle X}$  zawierającą topologię ${\displaystyle \tau ,}$  co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$  jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na ${\displaystyle X.}$  Miarę ${\displaystyle \mu }$  określoną na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$  nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty ${\displaystyle X}$  jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: ${\displaystyle \mu }$  jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall _{\begin{smallmatrix}U\in \tau \colon \\U\neq \varnothing \end{smallmatrix}}\;\mu (U)>0.}$ 

• Miara licząca określona na dowolnym zbiorze ${\displaystyle X}$  (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
• Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia ${\displaystyle \tau }$  nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo ${\displaystyle \delta _{0}}$  określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli ${\displaystyle \mathbb {R} }$  jest wyposażona w trywialną topologię ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\mathbb {R} \},}$  to ${\displaystyle \delta _{0}}$  jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
• Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
  • miara Wienera na przestrzeni dróg w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
• Miara Lebesgue’a na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
• Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

• Jeżeli ${\displaystyle \mu ,\nu }$  są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}),}$  przy czym ${\displaystyle \mu }$  jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem ${\displaystyle \nu ,}$  to ${\displaystyle \nu }$  także jest ściśle dodatnia.
• Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

• nośnik miary: miara jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej nośnikiem jest cała przestrzeń.