Ideał (teoria mnogości)

Niech ${\displaystyle (P,\leqslant )}$  będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle I\subseteq P}$  jest ideałem w zbiorze uporządkowanym ${\displaystyle P}$ , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ 

(ii) jeśli ${\displaystyle p,q\in P,}$  ${\displaystyle p\leqslant q}$  oraz ${\displaystyle q\in I,}$  to również ${\displaystyle p\in I,}$ 

(iii) jeśli ${\displaystyle p,q\in I,}$  to można znaleźć ${\displaystyle r\in I}$  taki że ${\displaystyle p\leqslant r}$  oraz ${\displaystyle q\leqslant r.}$ 

Ideał ${\displaystyle I}$  jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle I\neq P.}$ 

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech ${\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$  będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle I}$  jest ideałem w algebrze Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ , jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle \mathbf {0} \in I,}$ 

(ii) jeśli ${\displaystyle a,b\in \mathbb {B} ,}$  ${\displaystyle a\leqslant b}$  (tzn. ${\displaystyle a\cdot b=a}$ ) oraz ${\displaystyle b\in I,}$  to również ${\displaystyle a\in I,}$ 

(iii) jeśli ${\displaystyle a,b\in I,}$  to ${\displaystyle a+b\in I.}$ 

Ideał ${\displaystyle I}$  jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle \mathbf {1} \notin I.}$ 

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru ${\displaystyle S}$  (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru ${\displaystyle S.}$  Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów ${\displaystyle S}$ .

Niech ${\displaystyle S}$  będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina ${\displaystyle I}$  podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$  jest ideałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$  jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle \varnothing \in I,}$ 

(ii) jeśli ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq S}$  i ${\displaystyle B\in I,}$  to również ${\displaystyle A\in I,}$ 

(iii) jeśli ${\displaystyle A,B\in I,}$  to ${\displaystyle A\cup B\in I.}$ 

Ideał ${\displaystyle I}$  jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\displaystyle S\notin I.}$ 

Ideał właściwy ${\displaystyle I}$  w porządku częściowym ${\displaystyle (P,\leqslant )}$  jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym ${\displaystyle I}$  jest samo ${\displaystyle I.}$ 

• Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}}$  będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii. Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mathcal {B}}}$  jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}}$  będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue’a. Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathcal {B}}}$  jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle F}$  jest filtrem w algebrze Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} .}$  Niech ${\displaystyle F^{c}=\{\sim a:a\in F\}.}$  Wówczas ${\displaystyle F^{c}}$  jest ideałem w ${\displaystyle \mathbb {B} .}$  Warto zauważyć, że ${\displaystyle F^{c}}$  jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle F}$  jest ultrafiltrem.

• Niech ${\displaystyle S}$  będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina ${\displaystyle [S]^{<\omega }}$  wszystkich skończonych podzbiorów ${\displaystyle S}$  jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle S.}$  Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
• Niech ${\displaystyle A\subsetneq X.}$  Wówczas rodzina ${\displaystyle I_{A}}$  wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle A}$  jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle X.}$  Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn. typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
• Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue’a zero. Wówczas zarówno ${\displaystyle {\mathcal {K}},}$  jak i ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  są ideałami podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle (X,\tau )}$  jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X}$  tworzy właściwy ideał podzbiorów ${\displaystyle X.}$ 
• Niech ${\displaystyle \kappa }$  będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech ${\displaystyle {\mathcal {NS}}_{\kappa }}$  będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów ${\displaystyle \kappa ,}$  których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór ${\displaystyle \kappa .}$  Rodzina ${\displaystyle {\mathcal {NS}}_{\kappa }}$  jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle \kappa }$  – zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami ${\displaystyle \kappa }$ .

• Niech ${\displaystyle \kappa }$  będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał ${\displaystyle I}$  podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$  jest ${\displaystyle \kappa }$ -zupełny, jeśli suma mniej niż ${\displaystyle \kappa }$  zbiorów z ideału ${\displaystyle I}$  należy do ${\displaystyle I.}$ 
• Ideały ${\displaystyle \aleph _{1}}$ -zupełne na ${\displaystyle S}$  są nazywane ${\displaystyle \sigma }$ -ideałami podzbiorów ${\displaystyle S}$ . Tak więc ${\displaystyle \sigma }$ -ideał podzbiorów ${\displaystyle S,}$  to taki ideał ${\displaystyle I}$  podzbiorów ${\displaystyle S,}$  który spełnia następujący warunek:

(iii)^σ jeśli ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots \in I,}$  to ${\displaystyle \bigcup \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}\in I.}$ 

• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech ${\displaystyle I}$  będzie takim ideałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle S,}$  który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:

${\displaystyle \mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},}$ 

${\displaystyle \mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=S{\big \}},}$ 

${\displaystyle \mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge \ A\notin I{\big \}},}$ 

${\displaystyle \mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.}$ 

• Każdy właściwy ideał w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
• Jeśli ${\displaystyle I}$  jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle S}$  który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to

${\displaystyle \mathrm {add} (I)\leqslant \mathrm {cov} (I)\leqslant \mathrm {cof} (I)}$  i ${\displaystyle \mathrm {add} (I)\leqslant \mathrm {non} (I)\leqslant \mathrm {cof} (I).}$ 

• Współczynniki kardynalne ideałów ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  i ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.