Funkcja tworząca prawdopodobieństwa

Jeżeli ${\displaystyle X}$  jest dyskretną zmienną losową o wartościach ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych ${\displaystyle \{0,1,\dots \},}$  to funkcja tworząca prawdopodobieństwo X jest definiowana jako^[1]

${\displaystyle G_{X}(z)=\mathbb {E} (z^{X})=\sum _{k=0}^{\infty }\mathbb {P} (X=k)z^{k}.}$ 

Indeksy w oznaczeniach ${\displaystyle G_{X}}$  i ${\displaystyle P_{X}}$  są często używane do podkreślenia, że te oznaczenia odnoszą się do konkretnej zmiennej losowej ${\displaystyle X}$  i do jej rozkładu. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej dla wszystkich liczb zespolonych ${\displaystyle z,}$  takich że ${\displaystyle |z|\leqslant 1.}$  W wielu przykładach promień zbieżności jest większy.

Jeśli ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$  jest dyskretną zmienną losową o wartościach w ${\displaystyle d}$ -wymiarowej kracie nieujemnych liczb całkowitych ${\displaystyle \{0,1,\dots \}^{d},}$  wtedy funkcję tworząca prawdopodobieństwa X jest zdefiniowana jako

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\dots ,z_{d})=\mathbb {E} {\big (}z_{1}^{X_{1}}\ldots z_{d}^{X_{d}}{\big )}=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\dots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\ldots z_{d}^{x_{d}},}$ 

gdzie ${\displaystyle p}$  jest funkcją masy prawdopodobieństwa ${\displaystyle X.}$  Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej na wszystkich złożonych wektorach ${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{d})\in C_{d}}$  z ${\displaystyle \max\{|z_{1}|,\dots ,|z_{d}|\}\leqslant 1.}$ 

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo spełniają wszystkie warunki szeregów potęgowych o współczynnikach nieujemnych. W szczególności, ${\displaystyle G(1^{-})=1,}$  gdzie ${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{z\to 1^{-}}G(z)}$  od dołu, ponieważ prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki. Wynika z tego, że promień zbieżności każdej funkcji tworzącej prawdopodobieństwa musi być równy co najmniej 1 na mocy twierdzenia Abela dla szeregów potęgowych o nieujemnych współczynnikach.

Następujące własności pozwalają na wyprowadzenie różnych podstawowych wielkości związanych z ${\displaystyle X{:}}$ 

1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ${\displaystyle X}$  można wyznaczyć za pomocą pochodnej ${\displaystyle G}$ 

${\displaystyle p(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$ 

2. Z Własności 1 wynika, że jeśli zmienne losowe ${\displaystyle X}$  i ${\displaystyle Y}$  mają równe funkcje tworzące prawdopodobieństwa, ${\displaystyle G_{X}=G_{Y},}$  to ${\displaystyle P_{X}=P_{Y}.}$  To znaczy, że jeśli ${\displaystyle X}$  i ${\displaystyle Y}$  mają funkcje tworzące prawdopodobieństwa, to mają identyczne rozkłady.

3. Normalizacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa może być wyrażona poprzez funkcje tworzące wzorem:

${\displaystyle \mathbb {E} (1)=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=1.}$ 

Wartość oczekiwana ${\displaystyle X}$  jest wyrażona jako

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=G'(1^{-}).}$ 

Bardziej ogólnie, ${\displaystyle k}$ -ty moment silni ${\displaystyle \mathbb {E} (X)_{n}=\mathbb {E} (X(X-1)\dots (X-k+1)),}$  ${\displaystyle X}$  jest dany przez

${\displaystyle {\textrm {E}}\left({\frac {X!}{(X-k)!}}\right)=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geqslant 0.}$ 

Więc wariancja ${\displaystyle X}$  jest wyrażona przez

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-[G'(1^{-})]^{2}.}$ 

4. ${\displaystyle G_{x}(e^{t})=M_{X}(t),}$  gdzie ${\displaystyle X}$  jest zmienną losową, ${\displaystyle G(t)}$  funkcją tworzącą prawdopodobieństwa, a ${\displaystyle M(t)}$  jest funkcją tworzącą momenty.

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo są szczególnie przydatne przy zajmowaniu się funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Na przykład:

• Jeśli ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  jest ciągiem niezależnych (i niekoniecznie o identycznym rozkładzie) zmiennych losowych i

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$ 

gdzie a_i są stałymi, wtedy funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest dana przez

${\displaystyle G_{S_{n}}(z)=\mathbb {E} (z^{S_{n}})=\mathbb {E} (z^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}})=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\ldots G_{X_{n}}(z^{a_{n}}).}$ 

Na przykład jeśli

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$ 

to funkcja tworząca prawdopodobieństwa ${\displaystyle G\ Sn\ (z),}$  jest dana przez

${\displaystyle G_{S_{n}}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(z)\ldots G_{X_{n}}(z).}$ 

Z powyższego wynika również, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle S=X_{1}-X_{2}}$  jest

${\displaystyle G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z).}$ 

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle N}$  jest także niezależną dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa ${\displaystyle G_{N}.}$  Jeśli ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,X_{n}}$  są niezależnymi ${\displaystyle i}$  i o identycznych rozkładach ze wspólną funkcją tworzącą prawdopodobieństwa ${\displaystyle G_{X},}$  wtedy

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$ 

Można to zobaczyć, stosując twierdzenie o całkowitej wartości oczekiwanej, jak następuje:

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\mathbb {E} (z^{S_{N}})=\mathbb {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})=\mathbb {E} {\big (}\mathbb {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}|N){\big )}=\mathbb {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).}$ 

Ten ostatni fakt jest przydatny w badaniach procesu Galtona-Watsona.

• Przypuśćmy znowu że ${\displaystyle N}$  jest także niezależną, dyskretna zmienną losową o wartości ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa ${\displaystyle G_{N}.}$  Jeżeli ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,X_{n}}$  są niezależnymi zmiennymi losowymi, ale nie o identycznych rozkładach, gdzie ${\displaystyle G_{X_{i}}}$  oznacza funkcję tworzącą prawdopodobieństwa ${\displaystyle X_{i},}$  wtedy

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{i\geqslant 1}f_{i}\prod _{k=1}^{i}G_{X_{i}}(z).}$ 

Dla ${\displaystyle X_{i}}$  o identycznych rozkładach ${\displaystyle X_{i},}$  to upraszcza się do tożsamości powyżej. Ogólny przypadek jest czasami przydatny do uzyskania dekompozycji ${\displaystyle S_{N}}$  poprzez funkcje tworzące.

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej stałej równej ${\displaystyle c,}$  to znaczy ${\displaystyle \mathbb {P} (X=c)=1,}$  jest

${\displaystyle G(z)=z^{c}.}$ 

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dwumianowej zmiennej losowej, liczba sukcesów w ${\displaystyle n,}$  próbach z prawdopodobieństwem ${\displaystyle p}$  sukcesu w każdej próbie, jest

${\displaystyle G(z)=\left((1-p)+pz\right)^{n}.}$ 

Należy pamiętać, że jest to ${\displaystyle n}$ -krotny funkcji tworzącej prawdopodobieństwa losowej zmiennej Bernoulliego z parametrem ${\displaystyle p.}$ 

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej dwumianowej ujemnej, liczba niepowodzeń które nastąpiły przed ${\displaystyle r}$ -tym sukcesem z prawdopodobieństwem sukcesu ${\displaystyle p}$  w każdej próbie, jest

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}.}$ 

Pamiętajmy że jest to ${\displaystyle r}$ -krotny produkt funkcji tworzącej prawdopodobieństwa geometrycznej zmiennej losowej.

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej Poissona z parametrem skali ${\displaystyle \lambda }$  jest

${\displaystyle G(z)={\textrm {e}}^{\lambda (z-1)}.}$ 

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest przykładem funkcji tworzącej ciąg: zobacz także formalne szeregi potęgowe. Jest to czasem nazywane transformatą Z funkcji masy prawdopodobieństwa.

Inne funkcje tworzące zmiennych losowych obejmują funkcję generowania momentów, funkcję charakterystyczną i funkcję tworzącą kumulanty.