Surjekcja

Niech ${\displaystyle X}$  oraz ${\displaystyle Y}$  będą dowolnymi zbiorami. Funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  odwzorowuje zbiór ${\displaystyle X}$  na zbiór ${\displaystyle Y}$  wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru ${\displaystyle Y}$  jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

${\displaystyle \forall {y\in Y}\;\exists {x\in X}\;f(x)=y,}$ 

co oznacza się często jako ${\displaystyle f\colon X{\xrightarrow {na}}Y}$  lub ${\displaystyle f\colon X{\xrightarrow[{na}]{\ }}Y.}$ 

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, ${\displaystyle f(X)=Y,}$  inaczej ${\displaystyle \operatorname {Im} f=Y.}$ 

•  
  Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)
•  
  Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)
•  
  Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)
•  
  Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

${\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  określonej wzorem ${\displaystyle f_{1}(x)=x^{2}}$  oraz

${\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}$  określonej wzorem ${\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}.}$ 

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór ${\displaystyle Y}$  przyjmiemy zbiór jej wartości.

Niech ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

• ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{a}}$  dla ${\displaystyle a\in \{2n+1\colon n\in \mathbb {N} \}}$  na ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ 
• dowolny wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego, rozpatrywany jako funkcja do zbioru liczb rzeczywistych – wynika to z twierdzenia Darboux o funkcjach ciągłych, do których wielomiany rzeczywiste należą;
• ${\displaystyle f\colon x\mapsto \operatorname {tg} \;x}$  dla ${\displaystyle x\in \bigcup \{(-{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi )\colon k\in \mathbb {Z} \}}$  na ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ 
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\mathbb {Z} ,\quad f(x)=\lceil x\rceil ;}$ 
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} {\overset {\mathrm {na} }{\mapsto }}\{1\},\quad f(x)=1;}$ 
• wszelkie bijekcje.

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN^[1]. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez i^[2].

• epimorfizm

• Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1 : definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XI zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2001, s. 18. ISBN 83-85941-82-7.