Kwantowe zjawisko Halla

Jego odkrycie zostało w 1985 roku uhonorowane Nagrodą Nobla dla Klausa von Klitzinga. Od jego nazwiska pochodzi nazwa niestandardowej jednostki oporu elektrycznego: klitzing.

Warunkami koniecznymi do zaobserwowania kwantowego zjawiska Halla są:

• bardzo niska temperatura (< 4,2 K),
• silne pole magnetyczne (do kilku tesli); kwantowe zjawisko Halla łatwo zaobserwować na wykresie zależności oporu Halla (napięcie Halla podzielone przez prąd sterujący płynący wzdłuż próbki) od indukcji pola magnetycznego,
• specjalna struktura próbki – taka, by elektrony przewodnictwa miały w niej swobodę tylko w dwóch wymiarach (ang. two dimensional electron gas – 2DEG).

Kwantowe zjawisko Halla polega na przyjmowaniu przez opór elektryczny materiału określonych wartości dyskretnych, podobnie jak inne skwantowane wielkości fizyczne (ładunek elektryczny, pęd, energia elektronów w atomach pierwiastków chemicznych). Wartość oporu elektrycznego jest opisana wzorem:

${\displaystyle R={\frac {h}{n\cdot e^{2}}},}$ 

gdzie:

${\displaystyle h}$  – stała Plancka,

${\displaystyle n}$  – liczba naturalna (1, 2, 3,...),

${\displaystyle e}$  – ładunek elektryczny elementarny

i dla kolejnych liczb naturalnych wynosi on w przybliżeniu 25813, 12906, 8604, 6453, 5163 Ω itd.

W 1998 roku jego odkrycie również zostało uhonorowane Nagrodą Nobla.

Mimo że laboratoryjna realizacja rezystora, którego kontrolowany opór byłby skwantowany, jest trudna, to kwantyzacje oporu elektrycznego z klitzingiem można przewidzieć już w prostych modelach kwantowych takich jak np. studnia potencjału. Rozważmy nieskończoną studnie kwantową w modelu Bohra-Sommerfelda, tzn. po prostu elektron odbijający się w tę i z powrotem od doskonale twardych ścian oddalonych od siebie o ${\displaystyle a}$  który podobnie jak w modelu Bohra atomu wodoru może poruszać się jedynie po dozwolonych trajektoriach klasycznych, tzn. tu po odcinku, ale z różnymi prędkościami. Elektron taki jako naelektryzowany ładunkiem ${\displaystyle e}$  poruszając się jest więc także (zmiennym) prądem elektrycznym i umożliwia zdefiniowanie oporu studni.

Ponieważ trajektoria zamknięta ruchu elektronu to jego przelot przez studnie w tę i z powrotem z pędem o takiej samej wartości bezwzględnej, lecz jedynie zmieniającym kierunek wracając od jednej do tej samej ściany poprzez odbicie od drugiej warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda

${\displaystyle \oint \limits _{H(p,q)=E}p\,dq=nh}$ 

redukują się do

${\displaystyle 2mva=nh,}$ 

dając dozwolone kwantowe wartości prędkości

${\displaystyle v_{n}={\frac {nh}{2ma}}}$ 

i poprawne dokładne energie kwantowe dla nieskończonej kwantowej studni potencjału

${\displaystyle E_{n}={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8ma^{2}}}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ma^{2}}}.}$ 

Definiując napięcie pod którym jest n-ta trajektoria elektronu jako stosunek jego energii do ładunku

${\displaystyle U_{n}={\frac {E_{n}}{e}}}$ 

oraz w naturalny sposób prąd elektryczny jako

${\displaystyle I_{n}=e/T_{n},}$ 

gdzie: ${\displaystyle T_{n}}$  jest okresem n-tej trajektorii (czasem powrotu elektronu od jednej do tej samej ściany)

${\displaystyle T_{n}={\frac {2a}{v_{n}}},}$ 

otrzymujemy kwantyzacje oporu elektrycznego ze stałą von Klitzinga (klizingiem) (tu dokładnie z jej połową, a więc tu efekt ułamkowy)

${\displaystyle R_{n}={\frac {U_{n}}{I_{n}}}={\frac {n}{2}}{\frac {h}{e^{2}}}.}$ 

W odróżnieniu od oryginalnego kwantowego efektu Halla otrzymujemy tu więc kwantyzacje oporu proporcjonalną, a nie odwrotnie proporcjonalną do liczby kwantowej ${\displaystyle n.}$ 

• anomalne zjawisko Halla

• http://info.ifpan.edu.pl/ON-1/Artykuly/K.Wysokinski.1985.pdf
• https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1985/summary/ (ang.)
• poniższe 3 linki z: http://www.fkf.mpg.de/klitzing (ang.)
  • https://web.archive.org/web/20041027003511/http://www.warwick.ac.uk/~phsbm/qhe.htm (ang.)
  • http://web.archive.org/web/20011217232613/http://www.pha.jhu.edu/~qiuym/qhe/qhe.html (ang.)