Dzielnik

Liczba ${\displaystyle 3}$  dzieli liczbę ${\displaystyle 18,}$  ponieważ ${\displaystyle 18=3\cdot 6.}$  Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne^{[potrzebny przypis]}, a pozostałe jako nietrywialne. Na przykład:

• liczba ${\displaystyle 10}$  ma osiem dzielników: ${\displaystyle \{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\},}$  przy czym cztery z nich ${\displaystyle \{-10,-1,1,10\}}$  są trywialne;
• jedynka (1) i liczby pierwsze mają wyłącznie trywialne dzielniki, za to zero (0) i liczby złożone mają też inne (nietrywialne).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau ${\displaystyle (\tau );}$  przykładowo ${\displaystyle \tau (10)=4.}$  Obok podano jej wykres dla argumentów nieprzekraczających 250.

Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej^[3][4]; liczba ${\displaystyle 10}$  ma trzy dzielniki właściwe ${\displaystyle \{1,2,5\}.}$  Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.

• Wspomniany fakt, że każda liczba dzieli siebie samą, nazywa się zwrotnością podzielności.
• Podzielność jest przechodnia – dzielnik dzielnika danej liczby też jest dzielnikiem tej liczby: ${\displaystyle a|b\land b|c\Rightarrow a|c.}$ 
• Relacje o tych dwóch cechach – zwrotne i przechodnie – nazywa się praporządkami.

• Liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł (wartość bezwzględną) – są sobie równe lub przeciwne: ${\displaystyle (a|b\land b|a)\Rightarrow (a=b\lor a=-b).}$ 
• W szczególności oznacza to, że wzajemnie podzielne liczby naturalne są sobie równe; relacje o tej własności nazywa się antysymetrycznymi.
• Antysymetryczne praporządki są znane jako częściowe porządki, a zbiory z taką relacją – jak para ${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$  – są nazywane posetami.
• Ten konkretny poset należy do krat, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), pełniące role kresów – odpowiednio dolnego (infimum) i górnego (supremum).
• Zbiór dodatnich dzielników danej liczby też tworzy kratę. Obok podano diagram Hassego dzielników liczby 60.

• Dzielnik dwóch liczb jest też dzielnikiem ich sumy^[5]: ${\displaystyle (a|b\land a|c)\Rightarrow a|(b+c).}$  Co więcej, ${\displaystyle a|(mb+nc)}$  dla dowolnych liczb całkowitych ${\displaystyle m}$  oraz ${\displaystyle n}$ ^{[potrzebny przypis]}. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: ${\displaystyle 2|(3+3),}$  ale dwójka nie dzieli żadnego z tych składników.
• Istnieją sposoby, żeby sprawdzić podzielność dwóch liczb bez całej procedury dzielenia z resztą. Metody te opierają się na cechach podzielności – warunkach równoważnych tej własności; przykładowo dla sprawdzenia podzielności przez 3 i 9 wystarczy znać sumę cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.

Podwielokrotnością liczby ${\displaystyle n}$  nazywa się każdą taką liczbę ${\displaystyle a,}$  dla której ${\displaystyle n:a}$  jest liczbą naturalną, w ten sposób ${\displaystyle n}$  jest wielokrotnością ${\displaystyle a.}$  W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną^{[potrzebny przypis]}.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

• iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się ${\displaystyle b\neq 0}$  (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
• dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek ${\displaystyle b>0,}$  dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych ${\displaystyle 0}$  jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Jeżeli ${\displaystyle x|y}$  i ${\displaystyle y|x,}$  to elementy ${\displaystyle x}$  oraz ${\displaystyle y}$  nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

${\displaystyle x\sim y\iff x|y\land y|x}$ 

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

${\displaystyle x\sim y\iff x=cy,}$ 

gdzie ${\displaystyle c}$  jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli ${\displaystyle x|y,}$  to dla dowolnej liczby ${\displaystyle w}$  takiej, że ${\displaystyle w\sim x}$  zachodzi również ${\displaystyle w|y.}$  Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie ${\displaystyle 1}$  oraz ${\displaystyle -1}$ ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu ${\displaystyle x,}$  który jest równocześnie dzielnikiem ${\displaystyle y}$  nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

• czynnik pierwszy
• liczby doskonałe

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974. Brak numerów stron w książce