Dyskusja:Norma (matematyka)

Moim zdaniem poprzednia wersja była dobra, bo niby z którego warunku wynika że norma jest większa od zera?? Przecież to również jest warunek konieczny. A ponieważ norma to pierwiastek z iloczynu skalarnego, to warunki te powinny być analogiczne analogiczne.
P A L L A D I N U S ^dyskusja 16:52, 2 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Skonsultowałem się w sprawie tego "zbędnego warunku" z profesorem matematyki i potwierdził moją teorię. Nie potrafie dosłownie przytoczyć jego toku dowodowego, ale twierdzenie o nadmiarowości pierwszego warunku normy jest poprawne tylko wtedy, gdy zdefiniujemy ją jako pierwiastek z iloczynu skalarnego. Wówczas to wszytskie właściwości normy są oczywiście pochodnymi właściwości iloczynu skalarnego lub choćby samego pierwiastka. Ale generalnie można tworzyć normy w dodolnej przestrzeni i może się zdarzyć, że będzie ona spełniać warunek drugi i trzeci, ale niekoniecznie pierwszy. Dlatego też jest on niezbędny i aby być poprawnym matematycznie musimy pozostać przy wcześniejszym zapisie. Przepraszam za niemoc podania dowodu dosłownie, ale z uwagi na to, że jestem inżynierem, to takie zawiłości matematyczne, mimo że z pewnością bardzo interesujące, są mi jednak dość obce. Ale się staram :) Pozdrawiam P A L L A D I N U S ^dyskusja 19:49, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

nie

|u|=|2*u-u|

|2*u-u|<=|2*u|+|u| warunek 3

czyli

|u|<=|2*u|+|u|

czyli po odjeciu od stron rownania |u|

0<=|2*u|

0<=2*|u| warunek 2

0<=|u|

ale tak jak jest jest lepiej Kbsc

No dobrze, ale jeśli nie przyjmiemy najpierw, że ||x||>0, to ta ostatnia nierówność może nie być spełniona. Pozdrawiam P A L L A D I N U S ^dyskusja 21:58, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

powyżej jest pełen dowód własności: |u|>=0 uzywane są tylko warunki 2 i 3

Kbsc 22:08, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

A jeśli wymyśle sobie taką norme, która z definicji będzie przyporządkowywac jakimś funkcjom, wektorom czy cokolwiek, liczby mniejsze od zera

to udowodnisz,że matematyka jest sprzeczna.Kbsc

Otóż nie, ponieważ Ty, rozpoczynając swój dowód, przyjąłaś, że norma jest większa od zera, dlatego udało Ci się to udowodnić! P A L L A D I N U S ^dyskusja 22:56, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

(bo przypominam, że norma nie musi być zdefiniwana jako pierwiastek z iloczynu skalarnego), to co wtedy? P A L L A D I N U S ^dyskusja 22:25, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Każda funkcja o wartościach rzeczywistych spełniająca warunki 2 i 3 musi przyjmować wyłącznie wartości >= 0. Kbsc to udowodnił. 4C^uwagi 22:30, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Ale powtarzam jeszcze raz, że zależy to od tego w jakiej przestrzeni się poruszamy i jak zdefiniujemy sobie normę. Może zdarzyć się tak, że spełniając warunek 2 i 3, wybrana norma nie będzie większa od zera. P A L L A D I N U S ^dyskusja 22:37, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Nie zależy

ani od przestrzeni, ani od definicji.

Dowód - DOWÓD

Kbsc korzysta

wyłącznie

z warunków 2 i 3.

W definicji normy warunek ||x||>=0 jest zbędny (dowód powyżej), ale często się go pisze, aby określić dziedzinę odwzorowania: ${\displaystyle ||\cdot ||:V\rightarrow [0,+\infty )}$ . Natomiast gdyby nie było warunku: ||x||=0 <=> x = 0

to odzworowanie byłoby seminormą. Luke 33 22:59, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Dobra skonczmy ta bezowocna dyskusje i przyjmijmy obecny wyglad za poprawny, ok? Wszyscy za? P A L L A D I N U S ^dyskusja 23:09, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Dowód...

Kbsc to

udowodnił

. Jedynie Ty się upierasz,

wbrew

... czemu? 4C^uwagi 06:43, 9 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

pełen dowód, że norma u >=0

u=2*u-u (własność p. liniowej)

czyli

||u||=||2*u-u||

to samo co

||u||=||2*u+(-u)||

||u||=||2*u+(-u)||<=||2*u||+||-u|| warunek 3

czyli

||u||<=||2*u||+||-u||

||u||<=||2*u||+||(-1)*u|| własność p. liniowej

||u||<=||2*u||+|-1|*||u|| warunek 2

||u||<=||2*u||+||u||

odejmuje od stron równania ||u|| dostaję

0<=||2*u||

0<=2*||u|| warunek 2

dzielę przez 2

0<=||u||

Kbsc 23:14, 8 cze 2005 (CEST)Odpowiedz

Warto także powiedzieć coś o półnormach (seminormach), ponieważ mają ciekawe własności w pewnych przestrzeniach ilorazowych. Myślicie że należy napisać osoby artykuł czy złączyć go z tym? Jest to bardzo ciekawe pojęcie, o którym (nie wiem dlaczego) mówi się stosunkowo mało. --Loxley 15:04, 1 lut 2007 (CET)Odpowiedz

Tylko dlaczego nikt nie wspomniał co to jest ta norma? Czy to takie oczywiste?