Etapy rozwiązywania zadań matematycznych według Pólyi

Etap ten polega na zrozumieniu polecenia, odkryciu co jest dane, a co jest szukane oraz jakie są stosunki między tymi wielkościami^[4][8]. Uczeń stara się zrozumieć zadanie^[3], stara się jak najdokładniej je przeanalizować i poznać^[8], rozpatruje jego elementy z różnych punktów widzenia^[4]. Szuka związków między danymi i niewiadomymi^[3]. Uczeń wyobraża sobie sytuację przedstawioną w zadaniu^[8]. Możliwe, że na tym etapie będzie potrzebne rozwiązanie prostszych zadań pomocniczych^[3].

Przykładowe wskazówki heurystyczne, które nauczyciel matematyki może dać uczniom na tym etapie:

• Czy rozumiesz wszystkie słowa użyte w treści zadania?^[2][5]
• Co jest dane?^{[3][8][4][9][5]}
• Co jest niewiadome?^[3][4][9][5]
• Jaki jest warunek?^[3][4]
• Czy ten warunek można spełnić? Czy (nie)wystarcza on do spełnienia niewiadomej? Jest zbyt wąski lub zbyt obszerny?^[3][9][5]
• Czy można wydzielić część warunku?^[8]
• Czy masz wystarczające informacje, by móc rozwiązać to zadanie?^[2][5]
• Zrób pomocniczy rysunek, wprowadź oznaczenia.^[8][4][2][9]
• Czy mógłbyś opowiedzieć o tym problemie swoimi słowami?^[2]

Etap ten polega na stworzeniu odpowiedniego pomysłu i sprawdzenie, czy przy jego pomocy rozwiązanie zadania jest możliwe^[8]. Warto upewniać się, czy tworząc plan, nie odchodzi się od istoty zadania^[8]. Można tworzyć pomocnicze rysunki^[10].

Przykładowe wskazówki heurystyczne, które nauczyciel matematyki może dać uczniom na tym etapie:

• Do czego te dane mogą być przydatne?^[8]
• Co jest dane, a co jest szukane?^[8]
• Czy spotkałeś się kiedyś już z tym zadaniem?^[3][8][9]
• Czy spotkałeś się kiedyś z podobnym zadaniem, w nieco innej postaci?^[3][8][4][9]
• Jakiego rodzaju jest to zadanie?^[8][5]
• Czy znasz jakieś twierdzenie, które mogłoby być tu użyte?^[3]
• Czy mógłbyś skorzystać z wyniku lub metody z zadania, które rozwiązałeś wcześniej?^[3][9]
• Stwórz rysunek pomocniczy.^[2]
• Czy mógłbyś inaczej sformułować zadanie, które masz rozwiązać?^[3]
• Odwołaj się do definicji.^[3]
• Jakie mamy możliwości?^[2]
• Spróbuj podzielić zadanie na części, rozwiązać zadanie prostsze, pokrewne.^[3][2]
• Spróbuj odgadnąć rozwiązanie i sprawdzić, czy jest poprawne. (metoda prób i błędów)^[5]
• Którą część zadania mógłbyś rozwiązać najpierw?^[3]
• Czy skorzystałeś ze wszystkich danych?^[3][8][4][9]

Jeśli plan został już ułożony i nie są potrzebne żadne nowe pomysły, to etap wykonywania planu musi być oddzielony od etapu układania planu rozwiązania^[10]. Wykonując plan uczeń powinien sprawdzać poprawność każdego kroku^[4][10][11].

Przykładowe wskazówki heurystyczne, które nauczyciel matematyki może dać uczniom na tym etapie:

• Czy jest dla ciebie jasne, że ten krok jest poprawny?^[3]
• Czy możesz to udowodnić?^[3]

Uczeń sprawdza wynik^[10][4]. Czyni także szerszą refleksję nad całym zadaniem^[10]. Zastanawia się nad innymi sposobami rozwiązania tego zadania^[3]. Zastanawia się także nad swoim procesem rozwiązywania oraz nad dalszym wykorzystaniem uzyskanego wyniku i stworzonej metody^[10][3], nad tym które metody działały, a które nie^[2].

Przykładowe wskazówki heurystyczne, które nauczyciel matematyki może dać uczniom na tym etapie:

• Czy odpowiedziałeś na pytanie?^[5]
• Jak można sprawdzić wynik?^[10][11]
• Czy twój wynik ma sens?^[5] (w zadaniu tekstowym uczniowi mógł wyjść wynik, że np. w klasie jest 12,5 dziewczynek)
• Czy twój wynik spełnia wszystkie warunki zadania?^[5]
• Sprawdź jeszcze raz wszystkie wykonane rachunki.^[5]
• Czy ten wynik można otrzymać w inny sposób?^[10][11]
• Czy możesz objąć całe rozwiązanie jednym rzutem oka?^[3][11]
• Czy możesz wykorzystać ten wynik lub metodę do innego zadania?^[3][11]
• Czy to rozwiązanie można skrócić?^[12]

1. Odkrycie i sformułowanie zadania wynikającego z sytuacji problemowej^[13].
2. Zrozumienie zadania^[13].
3. Konstrukcja planu rozwiązania^[13].
4. Realizacja planu^[13].
5. Rzut oka wstecz^[13].
6. Spojrzenie w przód^[13].

Oprócz schematu rozwiązywania zadania, Pólya stworzył także siedem dyrektyw dotyczących doboru zadań matematycznych^[14]:

1. Łatwiejsze ma pierwszeństwo przed trudniejszym^[14].
2. To co lepiej znane ma pierwszeństwo przed tym co znane gorzej^[14].
3. Obiekt mający więcej punktów wspólnych z zadaniem ma pierwszeństwo przez obiektem mającym mniej punktów wspólnych^[14].
4. Całość ma pierwszeństwo przed częściami, bliższe części przed bardziej oddalonymi^[14].
5. Zadania rozwiązane wcześniej zawierające ten sam rodzaj niewiadomej mają pierwszeństwo przed innymi zadaniami rozwiązanymi wcześniej^[14].
6. Udowodnione wcześniej twierdzenie, zawierające ten sam związek co twierdzenie, które chcemy udowodnić, ma pierwszeństwo przez innymi udowodnionymi wcześniej twierdzeniami^[14].
7. Zadania podobne do zadania rozpatrywanego mają pierwszeństwo przed zadaniami ogólniejszymi, a te mają pierwszeństwo przed wszystkimi pozostałymi^[14].