Dwumian Newtona

Jeśli ${\displaystyle x,y}$  są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego^[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu ${\displaystyle x+y}$  można rozłożyć na sumę postaci

${\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}y^{3}+\ldots +{\binom {n}{n}}y^{n},}$ 

gdzie ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując ${\displaystyle x^{0}=y^{0}=1}$  (także w przypadku, gdy ${\displaystyle x=0}$  lub ${\displaystyle y=0}$ ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}.}$ 

Uwagi

1. W szczególności dla ${\displaystyle x=1}$  lub ${\displaystyle y=1}$  dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona ${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\;{n \choose k}\;x^{k}.}$ 
2. Współczynniki dwumianowe są elementami ${\displaystyle n+1}$  wiersza w trójkącie Pascala.

Przykłady

${\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}$ 

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ 

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}$ 

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla ${\displaystyle n=1}$  jest

${\displaystyle (x+y)^{1}=x+y={\binom {1}{0}}xy^{0}+{\binom {1}{1}}x^{0}y=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}x^{1-k}y^{k}.}$ 

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego ${\displaystyle n.}$  Wtedy dla ${\displaystyle n+1}$  mamy

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k+1}y^{k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&={\binom {n}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]x^{n-k+1}y^{k}+{\binom {n}{n}}y^{n+1}\\&={\binom {n+1}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+{\binom {n+1}{n+1}}y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k},\end{aligned}}}$ 

co kończy dowód.

Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy ${\displaystyle x+y,}$  gdzie ${\displaystyle x,y}$  są rzeczywiste, ${\displaystyle y>0}$  oraz ${\displaystyle |{\tfrac {x}{y}}|<1,}$  a wykładnik ${\displaystyle r}$  jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol Newtona^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}.}$ 

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim:

• w IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2^[3][4];
• w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala znał to twierdzenie dla wyższych wykładników^{[potrzebny przypis]}.

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali^[5]:

• indyjski matematyk Halajuda w X w.;
• perski matematyk Omar Chajjam w XI w.;
• chiński matematyk Yang Hui w XIII w.