Relacion binària

Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  dau carrat cartesian ${\displaystyle E\times E=E^{2}}$  . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  se ${\displaystyle (x,\,y)\in {\mathcal {R}}}$  .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu : ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y}$  en plaça de : ${\displaystyle (x,\,y)\in {\mathcal {R}}}$  .

• Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble ${\displaystyle \Delta =\{(x,\,x)\mid x\in E\;\}}$  (la diagonala de ${\displaystyle \ E^{2}}$  ).

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí : ${\displaystyle a\equiv b}$  quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que ${\displaystyle -2\equiv 6}$  e que ${\displaystyle 7\equiv 23}$  .

• Dins l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$  dei partidas d'un ensemble ${\displaystyle \ \Omega }$  , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de ${\displaystyle \ \Omega }$  , se A es inclusa dins B, s'escriu : ${\displaystyle A\subset B}$  .

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$  dei reaus, se definís :
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats largas (${\displaystyle \leq ,\geq }$  ) e
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas (<, >).

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$  deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu : ${\displaystyle a\mid b}$  ; ansin : ${\displaystyle 3\mid 15}$  .

Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  una relacion binària dins un ensemble E;

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  es reflexiva se per tot element x de E :

${\displaystyle x{\mathcal {R}}x}$ 

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y{\mathcal {R}}x)}$ 

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)\Rightarrow (x=y)}$ 

• Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)\Rightarrow (x{\mathcal {R}}z)}$ 

• Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
  • se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
  • se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un entier, alora ${\displaystyle x\equiv x}$  (reflexivitat)
  • se x, y son d'entiers taus que ${\displaystyle x\equiv y}$ , alora ${\displaystyle y\equiv x}$  (simetria)
  • se x, y, z son d'entiers taus que ${\displaystyle x\equiv y}$  e ${\displaystyle y\equiv z}$ , alora ${\displaystyle x\equiv z}$  (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$  , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
  • se A es una partida de ${\displaystyle \ \Omega }$ , alora ${\displaystyle A\subset A}$  (reflexivitat)
  • se A, B son de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$  talei que ${\displaystyle A\subset B}$  e ${\displaystyle B\subset A}$ , alora A = B (antisimetria)
  • se A, B, C son de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$  talei que ${\displaystyle A\subset B}$  e ${\displaystyle B\subset C}$ , alora ${\displaystyle A\subset C}$  (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$  dei reaus :
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$  deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

• Pareu
• Produch cartesian
• Relacion d'equivaléncia
• Relacion d'òrdre