Den generelle relativitetsteorien

Fram til byrjinga av 1900-talet dominerte Isaac Newton si framstilling av tid og rom. Ein meinte at universet var uendeleg i alle retningar og uendeleg i tid, samt i stor skala uforanderleg. Dette medførte problem. Kva kunne hindre den tiltrekkande tyngdekrafta i å destabilisere kvar form for fordeling av materien? Newton meinte (uriktig) at materien si fordeling på eit sett var slik at ein unngjekk destabiliseringa. Astronomen Olbers sette fram spørsmålet (Olbers paradoks): Kvifor er nattehimmelen mørk? Om universet er uendeleg så burde det i kvar retning vere ein lysande lekam, ei stjerne. Den generelle relativitetsteorien er grunnleggande for å løyse problem i kosmologien.

Den i dag ålment aksepterte førestillinga om opphavet og utviklinga til universet vert kalla Big Bang og omhandlar at universet i starten var konsentrert i eit punkt med uendeleg høg temperatur og tettleik. I løpet av milliardar av år etter eksplosjonen så har universet ekspandert og materien har produsert stjerner og galaksar. Universet sin ekspansive kraft vert motverka av gravitasjonen som bremsar ekspansjonen.

Universet er, per definisjon, «alt som er». Det finst ikkje ei grense der universet sluttar eller noko bortanfor ein kan kalle eit «ikkje-univers». Ein meiner at ingenting i universet kan ha ein posisjonell særstilling der ein ligg «nær sentrumet av universet» eller «ved ytterkanten av universet». Ein kan ikkje byggje eit fartøy som kan «forlate» universet. Den generelle relativitetsteorien støttar denne ålmenne oppfatninga.

I kraftige tyngdefelt kan gravitasjonen observerast som ei optisk «forstyrring», der innfallande lys blir bøygd og ein stor masse kan fungere som ei linse, ei «gravitasjonslinse». I astronomien kan forskarar utnytte dette for å sjå lekamar som elles hadde vore gøymde. Lys kan tene som ein «sonde» som ser avvik frå det «rettlinja» i rommet, sidan lysfarten er den høgaste som kan oppstå. Dette inneber at lyset følgjer den kortaste vegen som er mogeleg.

Styrken til tyngdekrafta er ein av faktorane som avgjer framtida til universet. Den russiske fysikaren Alexander Friedmann brukte i 1922 den generelle relativitetsteorien til å lage ein modell som skildrar utviklinga til universet. Denne modellen bremsar ned ekspansjonen til universet, før det så trekkjer seg saman igjen. Han grunnla modellen sin på tanken om at på stor skala er universet uniformt i kvar retning sett frå kvart utgangspunkt.

Gravitasjonen gjev òg opphav til tidsdilatasjonen: ei klokke som er i eit sterkt gravitasjonsfelt går seinare enn ei som er i eit svakare gravitasjonsfelt. Ein konsekvens av dette er at GPS-satellittane sine atomklokker må korrigerast for skilnaden i styrken på gravitasjon i områda for satellittbanane og på jordoverflata.

Eit fenomen som heng nært saman med tidsdilatasjonen er frekvensforskyvinga av lys som oppstår på grunn av tyngdekrafta. Frekvensen til eit lyssignal som vert send frå eit punkt med sterkare tyngdekraft enn der lyset kjem fram til vert oppfatta som ei raudforskyving, og har ein lågare frekvens samanlikna med kva ein observatør der lyset kom frå vil kunne sjå.

Isaac Newton tenkte seg at lekamar hadde ein absolutt fart og at visse lekamar i røynda låg i ro, medan andre i røynda var i rørsle. Han innsåg at det ikkje fanst ein måte å måle denne absolutte farten på. Newton meinte altså at teorien hans var urimeleg utan at det fanst absolutte referansepunkt, sjølv om ein ikkje kunne fastsette desse. For rotasjonar brukte han det roterande vasspannet som eit døme på absolutt rørsle. Om vi kan sjå ei konkav vassflate kan ein påstå at spannet roterer sjølv om ein ikkje kan sjå sjølve spannet rotere.

På 1800-talet formulerte James Clerk Maxwell fleire likningar – Maxwells likningar – som viste at lys oppfører seg som ei elektromagnetisk bølgje, som forplantar seg med konstant fart gjennom rommet (som ein framleis kunne tenke seg var absolutt og innehalde ein eter som medium for lyset si utbreiing). Dette verka som ein måte å unngå problemet med Newton sin relativitet. Gjennom å måle lysfarten for lys sendt frå ein lekam i ulike rørsletilstandar, skulle ein då slå fast farten til lekamen relativt til det absolutte rommet. Forsøk utført av Michelson og Morley mot slutten av 1800-talet gav derimot eintydige resultat om at lysfarten var den same uansett rørsletilstanden til lyskjelda.

Einstein kom på teoretisk måte fram til dette resultatet, som han publiserte i 1905 i artikkelen Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Om elektrodynamikken til lekamar i rørsle).

Den spesielle relativitetsteorien (formulert av Albert Einstein i 1905) baserte seg på postulatet om at lysfarten er lik for alle observatørar. Dette gjorde likningane i mekanikken konsistente med tanke på observasjonar gjort av observatørar i same relativ rørsle, noko som kravde at avstand og tid var variable og var ulike for forskjellige observatørar. Det var dermed ikkje lenger mogeleg å sjå på rom og tid som fråskilde, men som delar av eit einskapleg firedimensjonalt system, ei romtid.

Den spesielle relativitetsteorien omhandlar system som finn seg i uniform relativ rørsle. Ifølgje teorien finst det ingen måte å avgjere om eit slikt system kan ha ei særstilling. Det finst derfor ingen meiningsfull tolking av påstanden om at eit system «er i ro». Det er dette ordet relativitet kjem av. Det er ikkje mogeleg å på ein fysisk meiningsfull måte snakke om ein lekam sin fart og akselerasjon utan å først velje referansesystem, definere eit koordinatsystem i rommet, lekamen sin storleik kan relaterast til.

Den generelle relativitetsteorien kombinerer relativitet med likevektsprinsippet, nemleg prinsippet om at ein i eit lokalt system ikkje kan skilje frå kvarandre effektane av gravitasjon og jamn akselerasjon. Dette fører til at geometrien til romtida vert forma av førekomst av materie og energi, som gjev opphav til ei krum romtid. Partiklar som ferdast fritt i denne krumme romtida flyttar seg dermed under påverknad av tyngdekrafta som ein ikkje lenger kan sjå på som ein kraft, men ein eigenskap i rommet. Tyngdekrafta er universell i den meining at han påverkar alle lekamar på same måte, i motsetnad til andre krefter som den elektromagnetiske krafta.

Den generelle relativitetsteorien kan forklare mange fenomen, som lysavbøying i kraftige tyngdefelt, svarte hol, universets ekspansjon og Big Bang.

Eit av grunnlaga for teorien er utviklinga av ikkje-euklidisk geometri på andre halvdel av 1800-talet. Euklidisk geometri kjem frå Euklides sitt femte aksiom, parallellaksiomet, som seier at parallelle linjer aldri vil skjere kvarandre (er ekvidistante). Janos Bolyai og Carl Friedrich Gauss innsåg at eit postulat som innebar at parallelle linjer er ekvidistante ikkje nødvendigvis må gjelde som grunn for ei korrekt skildring av røyndomen. Gauss utførte òg målingar av vinkelsummen i trekantar for punkt på fleire kilometers avstand (for ikkje-euklidisk geometri skulle denne summen ikkje verte nøyaktig 180 grader), men romkrummingen ved jordoverflata er for liten til at dette kan påvisast i eit slikt eksperiment. Generell ikkje-euklidisk geometri vart formulert av Gauss sin elev Bernhard Riemann. Den moderne formuleringa av teorien nyttar differensialgeometri, som er ei grein av matematikken der ein studerer lokale eigenskapar hos ein type av særs generelle strukturar som vert kalla differensierbare mangfald.

I den spesielle relativitetsteorien spelar tregleikssystem ei viktig rolle. Tregleikssystem er referansesystem som er i jamn rørsle og som ikkje vert påverka av gravitasjon (det tyder ikkje at ein ikkje kan ta med krefter og akselerasjonar i utrekningane, men desse må handsamast for seg sjølv).

Den spesielle relativitetsteorien går ut frå at alle tregleikssystem er ekvivalente (same fysiske lover gjeld i samtlege) og frå postulatet om at lysfarten er den same i alle tregleikssystem. Årsaka til at han vert kalla spesiell er at han ikkje omhandlar gravitasjonen.

Einstein gjekk ut frå det som mange kallar det svake ekvivalensprinsippet. I følgje denne er massen ${\displaystyle m}$  som inngår i Newtons andre lov

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ 

identisk med massen som inngår i tyngdekrafta

${\displaystyle {\vec {F}}=mGM{{\vec {r}} \over r^{3}}}$ ,

der ${\displaystyle G}$  er gravitasjonskonstanten, ${\displaystyle m}$  og ${\displaystyle M}$  er massane til dei to lekamane og ${\displaystyle r}$  er avstanden mellom massesentra til dei to lekamane. I røynda vert dei to lekamane trekte mot kvarandre, men under føresetnad om at den eine lekamen har mykje mindre masse enn den andre (som kan vera ein planet) kan ein med god tilnærming gå ut frå at det berre er den minste lekamen som vert akselerert. Denne akselerasjon, på grunn av tyngdekrafta, kan uttrykkast

${\displaystyle {\vec {a}}=GM{{\vec {r}} \over r^{3}}}$ .

Det svake ekvivalensprinsippet kan derfor formulerast på eit anna vis: Frittfallande lekamar oppfører seg på same vis under påverknad av uniform akselerasjon som under påverknad av tyngdekrefter. Ein må derfor avgrense seg til så små område av rommet at ein kan sjå på tyngdekrafta som ein konstant.

Det svake ekvivalensprinsippet vert ofte illustrert med eit tankeeksperiment der ein observatør som står inne i ein lukka heis i rommet ikkje kan avgjere, ved å observere ein fallande lekam i heisen, om heisen akselererer jamnt på grunn av ei konstant kraft frå heiskabelen eller om lekamen vert påverka av tyngdekrafta (ingen kraftverknad frå heiskabelen).

I akselererte referansesystem har lekamar i fri rørsle ein akselerasjon i forhold til dette referansesystemet. Det vil seie at det finst ei kraft som oppstår som følgje av referansesystemet sin akselerasjon og som ikkje direkte er påverka av krefter frå ytre lekamar (til dømes kjenner vi g-krefter i svingar når vi køyrer bil). Analogt oppstår corioliskraft og sentripetalkraft i forhold til visse referansesystem for roterande lekamar, som jorda eller ein karusell.

Einstein generaliserte dette prinsippet til det som i dag vert kalla Einsteins ekvivalensprinsipp (EEP): I eit tilstrekkeleg lite område av romtida finst det ikkje eit einaste lokalt eksperiment der ein kan skilje gravitasjonen frå akselerasjon. I eit slikt lokalt område kan den spesielle relativitetsteorien difor nyttast.

Einstein viste korleis EEP fører til at ein ikkje lenger kan sjå på tyngdekrafta som ei kraft, men som ein effekt av det krumme rommet. I den spesielle relativitetsteorien kan ein akselerasjon unikt definerast i forhold til eit tregleikssystem. Om til dømes ein elektrisk ladd partikkel vert akselerert av eit elektrisk felt så kan ein unikt måle akselerasjonen relativt til eit system i jamn rørsle; det er berre den jamne rørsla som er relativ. Men om tyngdekrafta vert handsama som ein akselerasjon får ein problem sidan det ikkje finst lekamar som ikkje vert påverka av tyngdekrafta. Det finst altså ingenting relativt som gjer at ein kan måle denne akselerasjonen. Einstein såg dette som eit så alvorleg problem at han valde å gje opp ideen om gravitasjonen som ei kraft og dermed at det finst noko slikt som tyngdeakselerasjon.

I den generelle relativtetsteorien snakkar ein om frittfallande referansesystem. Desse er uakselererte system i fri rørsle, utan påverknad av ytre krefter. Lekamer som berre er påverka av tyngdekrafta er frittfallande og følgjer dermed den kortaste mogelege banen mellom punkt i romtida. Dette er det store steget når ein går frå den spesielle til den generelle relativitetsteorien.

Sidan tyngdefeltet frå ein massiv lekam aldri er konstant i rommet kan ein ikkje definere globale referansesystem som omfattar heile rommet. Om ein prøver å gjere dette ser frittfallande lekamar som er tilstrekkeleg langt borte ut til å akselerere når dei vert påverka av gravitasjonen.

Ein må derfor nøye seg med lokale tregleikssystem, som fører til at den relative farten til lekamar med stor avstand til kvarandre ikkje er veldefinerte.

Romtida får altså ein krum geometri der ein tenkjer seg at Newton sine lover gjeld i lokale referansesystem for låg fart. Frie partiklar går langs rette linjer i desse lokale tregleikssystema, men når desse avstandane vert «lange», vil ein merke krumminga av rommet. Partiklane går då i geodetiske banar, det vil seie den kortaste banen i det krumme rummet. Dette kan tolkast som at Newtons første lov vert erstatta med lova om geodetisk rørsle.

Det er naturleg å skildra dette matematisk med differensierbare mangfald, som er matematiske strukturar som lokalt er flate. Meir presist ser ein n-dimensjonal mainfold lokalt (på infinitesimal avstand) ut som Rⁿ, det vil sei at det euklidiske n-dimensjonelle rommet. I den generelle relativitetsteorien ser rommet lokalt ut som det plane Minkowskirommet som vert nytta i den spesielle relativitetsteorien, men globalt er det bøygd. På grunn av dette kan ein ikkje direkte jamføre vektorar som fart og akselerasjon for ulike punkt i rommet, men ein lyt i staden jamføre vektorar for ulike punkt som høyrer til ulike tangentrom.

I den spesielle relativitetsteorien tenkjer ein seg at referansesystem kan utvidast uavgrensa i tid og rom. I den generelle relativitetsteorien kan vi derimot berre definere lokale referansesystem, det vil seie referansesystem definert i ein tilstrekkeleg liten del av romtida. Dette er analogt med at vi kan teikne eit todimensjonalt kart av eit lite område av jorda med stor nøyaktigheit, men ikkje eit stort kart som viser heile jordoverflata utan forvrenging.

Den generelle relativitetsteorien er tufta på tre prinsipp:

• Gravitasjonen er ikkje ei kraft, men ein effekt av at romtida er bøygd.
• Alle frie lekamar flyttar seg langs dei kortast mogelege banane i det krumme rommet. Desse kortaste banane vert kalla geodetar.
• Krumminga av rommet er ein effekt av masse og energi.

Den første eksperimentelle støtta for den generelle relativitetsteorien vart gjort av Arthur Eddington, som i 1919 målte lysstrålene si avbøying på grunn av sola sin gravitasjon. Han tok bilete av stjernene rundt sola under ei solførmørking og seinare samanlikna han desse med bilete av dei same stjernene utan sola sin påverknad. Dermed kunne han vise at lysbanane vart avbøygd av tyngdefeltet nær sola. I kva grad Eddington verkeleg gav vitskapleg støtte til den generelle relativitetsteorien er derimot omdiskutert. Seinare undersøkingar av bileta hans tyder på at sjølve lysavbøyingsfenomenet vart fastsett med nokolunde tryggleik.

Moderne eksperiment har verifisert teorien. Til dømes påviste Pound-Rebka-eksperimentet (1959) endringar i veglengda for lys frå ei koboltkjelde over ein avstand på 22,5 meter bort frå gravitasjonsretninga. Merkur sin perihelionpresessjon er eit anna døme.

Den generelle relativitetsteorien vert i dag rekna som ein «effektiv» teori for låge energinivå (den vert sett på som asymptotisk korrekt for låge energinivå). For høge energinivå samsvarar han ikkje med kvantemekanikken. Mellom anna er strengteorien eit forsøk på å sameine gravitasjonen og kvantemekanikken i ein einskapleg teori. (sjå kvantegravitasjon).

Matematisk vert romtida modellert ved hjelp av differensialgeometri som ein firdimensjonell pseudo-Riemannsk manifold med ein metrik, eller metrisk tensor, ${\displaystyle \;g_{\alpha \beta }(x)}$ , som spesifiserar rommet sin lokale krumming i punktet ${\displaystyle \;x}$ . Metriken skildrar korleis ein måler avstanden på manifolden – ein kan seie at han gjev avviket frå Den pythagoreiske læresetninga for trekantar i det ikkje-euklidiske rommet – og er ein symmetrisk 2-tensor definert over den 4-dimensjonelle romtida (d.v.s. han kan representerast som ein 4 x 4 – matrise), som fører til at han har 10 uavhengige komponentar.

Einstein sine feltlikningar gjev at manifolden si krumming, som vert gjeve av den såkalla Riemanntensorn, i eit punkt er direkte relatert til stressenergitensoren i dette punktet. Denne tensoren er eit mål på materie/energi-tettleiken. Metriken er igjen relatert til Riemanntensoren. Romtidkrumminga styrer korleis materien flyttar seg og materien styrar korleis romtida vert krumma.

Einstein sine feltlikningar spesifiserar altså romtida sin respons på førekomsten av materie og energi. Dei omfattar tensorar og kan skrivast:

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta }}$ 

som tilsvarar ei ikkje-lineær differensiallikning for kvar komponent av den metriske tensoren ${\displaystyle \;g_{\alpha \beta }(x)}$ . Høgreleddet i denne likninga spesifiserar masse-energifordelinga i romtida og relaterer dette til venstreleddet som gjev eit mål på krumminga.

I likninga over er

• ${\displaystyle \;R_{\alpha \beta }}$  Riccis krummingstensor,
• ${\displaystyle \;R}$  skalarkrumminga,
• ${\displaystyle \;g_{\alpha \beta }}$  den metriske tensoren,
• ${\displaystyle \;T_{\alpha \beta }}$  stressenergitensoren,
• ${\displaystyle \;c}$  lysfarten og
• ${\displaystyle \;G}$  gravitasjonskonstanten, som òg er ein del av Newtons gravitasjonslov.

Sidan metriken har 10 komponentar er det derfor 10 av Einstein sine likningar, ein for kvar komponent. Dei matematiske eigenskapane til manifolden gjev derimot den såkalla Bianchi-identiteten som legg restriksjonar på fire av komponentane, tilsvarande romtida sine fire koordinatar. Altså har ein igjen 6 uavhengige likningar.

Riccitensoren ${\displaystyle \;R_{\alpha \beta }}$  og skalarkrumminga ${\displaystyle \;R}$  vert utrekna frå den meir generelle Riemanntensoren, som igjen vert rekna ut frå metriken og den deriverte av denne.

Materien sin respons på den krumme romtida vert igjen gjeve av at ein fri partikkel sin bane følgjer ein geodet, ei parameterisert kurve ${\displaystyle \;x^{\mu }(\lambda )}$  som er den kortaste vegen i det krumme rommet, og som vert gjeve av den geodetiske likninga

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}=\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\lambda }}}$ 

der ein summerar over indeksane ${\displaystyle \rho }$  og ${\displaystyle \sigma }$  i følgje Einsteins summasjonsnotasjon. ${\displaystyle \;\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }}$  er det såkalla Christoffelsymbolet som òg er relatert til rommet si krumming.

Einstein sine feltlikningar vert stundom skrive med ein parameter kalla «den kosmologiske konstanten», Λ, som vart introdusert av Einstein for at likningane skulle vere konsistenet med eit statisk univers (som verken ekspanderar eller trekkjer seg saman). Denne tanken var opphavleg feil på grunn av to faktorar. Det eine er at eit statisk univers skildra av denne teorien er ustabilt og den andre er at observasjonar gjort av Edwin Hubble eit tiår seinare viste at universet faktisk ekspanderar. Paremeteren Λ vart derfor tatt bort og Einstein kalla det «sitt livs største feilskjer». Seinare har derimot observasjonar vist at universet ikkje berre ekspanderar, men faktisk akselererer, og at ein Λ ulik null derfor er nødvendig likevel.

Feltlikningen med den kosmologiske konstanten vert skrive:

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R+\Lambda g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta }}$ .

• Svart hol
• Kosmologi
• Big Bang

• Kip Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, (W.W. Norton & Company, New York, 1994). ISBN 0-393-31276-3.
• Herman Bondi, Relativity and Common Sense, Heinemann (1964). ISBN 0-486-24021-5.

På svensk:

• Olof Sjöstrand, Einsteins relativitetsteori - Matematisk bakgrund och enkla tillämpningar, Akademiförlaget (1971).

På engelsk:

• Sean Carroll, A no-nonsense introduction to general relativity (pdf) Arkivert 2007-06-13 ved Wayback Machine..
• Ray D'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, (Oxford University Press, 1993).
• James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity (2002), ISBN 0-8053-8662-9.
• Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity (1995), ISBN 0-521-27703-5.
• Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (2003), ISBN 0-8053-8732-3.
• Jerzy Plebanski & Andrzej Krasinski, An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press ( July 2006), ISBN 0-521-85623-X.
• Øyvind Grøn and Sigbjørn Hervik, «Einstein's General Theory of Relativity with Modern Applications in Cosmology» (2007), ISBN-13: 978-0-387-069199-2.
• Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, Freeman (1973), ISBN 0-7167-0344-0.
• W. Perret and G.B. Jeffrey, trans.: The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, New York Dover (1923).

På tysk:

• Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S. 769–822 (Faksimile Arkivert 2006-08-23 ved Wayback Machine., PDF)
• Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. In: Annalen der Physik. 35, 1911, S. 898–908 (Faksimile Arkivert 2008-03-09 ved Wayback Machine., PDF)
• Albert Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. 1915, S. 831–839