Vlak (meetkunde)

Een vlak kan op verschillende manieren worden afgebeeld of beschreven.

Een vlak kan vastgelegd worden door een punt ${\displaystyle P}$  in het vlak en een vector ${\displaystyle \mathbf {n} }$ , die loodrecht op het vlak staat, de normaalvector, dus de oriëntatie van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met ${\displaystyle P}$  loodrecht op de normaalvector staat. Het vlak is dus:

${\displaystyle \{Q\ |\ ({\vec {Q}}-{\vec {P}})\cdot \mathbf {n} =0\}}$ 

Als ${\displaystyle P}$  en ${\displaystyle \mathbf {n} }$  in een driedimensionale ruimte zijn gegeven door:

${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})\ }$  en ${\displaystyle \ \mathbf {n} =(x_{n},y_{n},z_{n})}$ ,

bestaat het vlak uit de punten ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$  waarvoor geldt dat

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} \ =\ {\vec {P}}\cdot \mathbf {n} }$ 

waarin de bewerking bepaald door ${\displaystyle \cdot }$  het inwendige product is.

Uit het voorgaande zien we dat de punten in een vlak voldoen aan de algemene vlakvergelijking:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ 

Hierin is ${\displaystyle (a,b,c)}$  de normaalvector van het vlak. Als ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$  een gegeven punt in het vlak is, geldt:

${\displaystyle d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}}$ 

Drie punten ${\displaystyle P_{1}}$ , ${\displaystyle P_{2}}$  en ${\displaystyle P_{3}}$  die niet op één lijn liggen, bepalen precies het vlak:

${\displaystyle \{aP_{1}+bP_{2}+cP_{3}\ |\ a+b+c=1\}}$ 

• Een hypervlak is een vectorruimte van een dimensie lager dan waarin het is ingebed, dus net zoals een gewoon vlak twee dimensies heeft en in een driedimensionale ruimte is ingebed.
• De verschillende mogelijke vlakken door een kristalrooster worden door middel van millerindices aangegeven.

• Wikibooks. Vectormeetkunde