11차원 초중력

이론물리학에서 11차원 초중력(十一次元超重力, 영어: eleven-dimensional supergravity)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.

11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다.^[1]

이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수

${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|32)}$

에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(32)}$

이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi _{M}=D_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}_{M}-8\delta _{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon }$

의 꼴이다.^{[2]:411[3]:(3.10)} 여기서

${\displaystyle D_{\mu }\epsilon =\partial _{\mu }+\omega _{\mu }}$

는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }=0}$은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

11차원 초중력은 중력장 ${\displaystyle G_{MN}}$과 마요라나 그래비티노 ${\displaystyle \psi _{M}}$, 또 3차 미분형식 게이지장 ${\displaystyle C_{MNP}}$를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

이름	기호	푸앵카레 대칭 표현	게이지 대칭
중력장	${\displaystyle G_{MN}}$	대칭 텐서	미분 동형
그래비티노	${\displaystyle \psi _{M}}$	벡터-마요라나 스피너	국소 초대칭 변환
게이지장	${\displaystyle C_{MNP}}$	3차 미분 형식	${\displaystyle C_{MNP}\mapsto C_{MNP}+\mathrm {d} _{[M}B_{NP]}}$

11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}C_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}}$

여기서

• ${\displaystyle M,N,\dotsc }$는 11차원 굽은 공간 지표이다.
• ${\displaystyle A,B,\dotsc }$는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
• ${\displaystyle R}$는 리치 스칼라이다.
• ${\displaystyle e_{M}^{A}}$은 필바인이며, ${\displaystyle \eta _{AB}e_{M}^{A}e_{N}^{B}=G_{MN}}$이 11차원 계량 텐서이다.
  • ${\displaystyle e=|\det(e_{M}^{A})|={\sqrt {|\det g_{MN}|}}}$은 부피 형식이다.
  • ${\displaystyle \omega }$는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
• ${\displaystyle F_{MNPQ}=\partial _{[M}C_{NPQ]}}$는 ${\displaystyle C}$의 4차 미분 형식 장세기이다.
• ${\displaystyle \epsilon ^{M_{1}\dotsc M_{11}}}$은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
• ${\displaystyle \kappa =8\pi G}$는 중력 상수의 8π배이다.

다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, ${\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}$ 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.^[4]:(3.2)

이름	기호	${\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}$ 등급	미분
필바인	${\displaystyle e^{a}}$	(1,+)	${\displaystyle \mathrm {d} e^{a}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge e^{b}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\bar {\psi }}\gamma ^{a}\psi }$
스핀 접속	${\displaystyle \omega ^{ab}}$	(1,+)	${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{a}{}_{c}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge \omega ^{b}{}_{c}}$
그래비티노	${\displaystyle \psi }$	(1,−)	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\omega ^{a}{}_{b}\gamma _{a}{}^{b}\psi }$
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장	${\displaystyle C_{3}}$	(3,+)	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge \psi \wedge e^{a}\wedge e^{b}}$
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장	${\displaystyle C_{6}}$	(6,+)	${\displaystyle \mathrm {d} C_{6}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\wedge \gamma _{a_{1}\dotso a_{5}}\wedge e^{a_{1}}\wedge \dotsb \wedge e^{a_{5}}-{\tfrac {13}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge e^{a}\wedge e^{b}\wedge C_{3}}$

이 L∞-대수 ${\displaystyle {\mathfrak {sugra}}}$를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데, ${\displaystyle \psi }$와 ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{6}}$를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {io}}(10,1)}$을 얻는다.

이제, 그 베유 대수(영어: Weil algebra)

${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])}$

를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}$-등급 미분 등급 대수이다.

시공간이 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)}$

이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }e^{a}}$ (비틀림 텐서)

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{6}+15(\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3})\wedge C_{3}}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\psi }$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\omega ^{ab}}$ (리치 곡률 텐서의 일반화)

11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은

1. 이 대상들이 ${\displaystyle e^{a}}$와 ${\displaystyle \psi }$로 생성되는 아이디얼에 속하며,
2. ${\displaystyle \psi }$를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 ${\displaystyle e}$만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.

즉, 예를 들어, ${\displaystyle C_{3}}$의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 ${\displaystyle G_{4}\in \Omega ^{4}(M;\mathbb {R} )}$이 존재하여야 한다.

${\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}=(G_{4})_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

이러한 꼴의 조건을 리오노미(영어: rheonomy)라고 한다.

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

차원	이론
11	11차원 초중력
10	ⅡA형 (${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$) 초중력
9	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초중력
8	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초중력
7	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초중력
6	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초중력
5	${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초중력
4	${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ 초중력

11차원 초중력을

${\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}}$

${\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 ${\displaystyle G}$와 게이지 장 ${\displaystyle C}$)은 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(3,1)+7차원	(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(3,1)차원 벡터장의 수	(3,1)차원 텐서장의 수
${\displaystyle G_{MN}}$	${\displaystyle G_{\mu \nu }}$	—	—	1
	${\displaystyle G_{\mu m}}$	—	7	—
	${\displaystyle G_{mn}}$	28	—	—
${\displaystyle C_{MNP}}$	${\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}$	—	—	—
	${\displaystyle C_{m\mu \nu }}$	7	—	—
	${\displaystyle C_{mn\mu }}$	—	21	—
	${\displaystyle C_{mnp}}$	35	—	—
계		70	28	1

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 ${\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})}$ 및

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma m}}$

에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 ${\displaystyle \phi _{m}}$을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}/\operatorname {SU} (8)}$

의 좌표를 이룬다.^[5] 여기서 ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

28개의 스칼라장 ${\displaystyle (G_{m,n})_{1\leq m,n\leq 7}}$과 ${\displaystyle C_{mn\mu }}$를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 ${\displaystyle \phi _{m}}$을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.^[5]:(4.4)

${\displaystyle S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \Delta =|\det(g_{mn})_{1\leq m,n\leq 7}|}$

이는 동차 공간 ${\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )}$의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 ${\displaystyle 63-28=35}$차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환

${\displaystyle S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))}$

을 겪는다. 게이지 변환 가운데 ${\displaystyle \operatorname {SO} (7;\mathbb {R} )}$ 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 ${\displaystyle C_{mnp}}$가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)}$

이에 따라, ${\displaystyle S}$에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$의 원소로 확장할 수 있다. 다만, ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.^[5]:(4.24)

이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 ${\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8)}$ 대칭에 대하여, 이 보손들은 ${\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} _{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} _{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {SU} (8)}$의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.

11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.

${\displaystyle \mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)}$

${\displaystyle 320=28\times 8+4\times 24}$

28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다^{[5]:170, §6} (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.^{[5]:170, §6}

페르미온들은 대역적 대칭 ${\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}$에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$의 표현을 이루지만 ${\displaystyle \operatorname {GL} (4)}$의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

11차원 초중력을

${\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}}$

${\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 ${\displaystyle G}$와 게이지 장 ${\displaystyle C}$)은 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(4,1)+6차원	(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(4,1)차원 벡터장의 수	(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
${\displaystyle G_{MN}}$	${\displaystyle G_{\mu \nu }}$	—	—	1
	${\displaystyle G_{\mu m}}$	—	6	—
	${\displaystyle G_{mn}}$	${\displaystyle \textstyle {\binom {6+1}{2}}=21}$	—	—
${\displaystyle C_{MNP}}$	${\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}$	1	—	—
	${\displaystyle C_{m\mu \nu }}$	—	6	—
	${\displaystyle C_{mn\mu }}$	—	${\displaystyle \textstyle {\binom {6}{2}}=15}$	—
	${\displaystyle C_{mnp}}$	${\displaystyle \textstyle {\binom {6}{3}}=20}$	—	—
계		42	27	1

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 ${\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})}$ 및

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma \tau }}$

에 의하여 정의되는 스칼라장 ${\displaystyle \phi }$를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

${\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}/\operatorname {USp} (8)}$

의 좌표를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}}$은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E₆의 27차원 기본 표현을 이룬다.

끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.

11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(프랑스어: Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(프랑스어: Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다.^[2]

• “D=11 N=1 supergravity”. 《nLab》 (영어). 
• “Exceptional generalized geometry”. 《nLab》 (영어). 
• “D'Auria-Fre formulation of supergravity”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergravity Lie 6-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergravity Lie 3-algebra”. 《nLab》 (영어).