전파 인자

파동 방정식

${\displaystyle {\hat {O}}\psi (x,t)=0}$ 

을 따르는 장 ${\displaystyle \psi (x,t)}$ 를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle {\hat {O}}}$ 는 ${\displaystyle x}$ 와 ${\displaystyle t}$ 에 대한 미분 연산자다. 이 때, 전파인자 ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$ 는 다음을 만족한다.

${\displaystyle {\hat {O}}K(x,t;x',t')=-\delta (x-x')\delta (t-t')}$ .

즉 파동 방정식 연산자의 그린 함수다. 이는 간혹 유일하지 않을 수 있는데, 이 경우 적절한 경계 조건을 가한다.

비상대론적 입자는 슈뢰딩거 방정식을 따른다. 따라서, 그 전파인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수이다. 계의 해밀토니안을 ${\displaystyle H}$ 로 쓰면, 입자가 ${\displaystyle x',t'}$ 에서 ${\displaystyle x,t}$ 로 이동할 확률진폭을 나타내는 전파인자 ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$ 는 다음을 만족한다.

${\displaystyle \left(-iH/\hbar -{\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')}$ .

따라서, 시간 변화 연산자

${\displaystyle U(t,t')=\exp \left(-i/\hbar \int _{t}^{t'}H\;dt\right)}$ 

에 대하여 다음을 만족한다.

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle }$ 

즉, 전파인자는 시간 변화에 대한 확률 진폭이다.

초기 상태가 주어지면, 그 시간 변화를 전파 인자로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'}$ 

전파 인자를 경로 적분으로 정의할 수도 있다. 계의 라그랑지언 ${\displaystyle L}$ 이 주어지면,

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]}$ .

여기서 경계조건은 ${\displaystyle q(t)=x,q(t')=x'}$ 이다.

상대론적 스칼라 (스핀 0) 입자의 파동 방정식은 클라인-고든 방정식이다. 따라서, 전파 인자는 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다. 위치 공간에서 전파 인자 ${\displaystyle G(x,y)}$ 는 다음과 같다.

${\displaystyle (\square _{x}^{2}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)}$ 

푸리에 변환으로, 이를 운동량공간으로 고쳐 쓸 수 있다.

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}}}}$ 

그러나 민코프스키 공간에서는 이 적분이 극(極)을 가지므로, 적분을 제대로 정의할 수 없다. 따라서 분모에 무한소의 작은 값을 더하여 적분 경로를 명확히 하는데, 이에는 여러 가지 방법이 있다.

뒤처진 전파 인자(retarded propagator):

${\displaystyle G_{ret}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,x\prec y\\0&{\textrm {otherwise}}\end{matrix}}\right.}$ 

여기서

${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$ 

는 ${\displaystyle x}$ 에서 ${\displaystyle y}$  간의 고유시간이고, ${\displaystyle J_{1}}$ 는 제1종 베셀함수이다.

앞선 전파 인자(advanced propagator):

${\displaystyle G_{adv}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,y\prec x\\0&{\textrm {otherwise}}.\end{matrix}}\right.}$ 

파인먼 전파 인자:

${\displaystyle \ G_{F}(x,y)}$	${\displaystyle \ =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}}$
	${\displaystyle \ =\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\textrm {if}}\,s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\textrm {if}}\,s<0.\end{matrix}}\right.}$

이를 운동량 공간으로 푸리에 변환하면 훨씬 더 간단하다.

${\displaystyle {\tilde {G}}_{ret}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\tilde {G}}_{adv}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$ 

디랙 방정식을 따르는 입자의 전파 인자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }}$ 

위치 공간에서는 다음과 같다.

${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$ 

광자의 전파 인자는 다음과 같다. (파인먼 게이지)

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }}$ 

• 양자역학
• 양자장론

• Bjorken, J.D., Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (Appendix C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0.
• N. N. Bogoliubov, Dmitry V. Shirkov, Introduction to the theory of quantized fields, Wiley-Interscience, ISBN 0-470-08613-0 (Especially pp. 136–156 and Appendix A)
• Edited by DeWitt, Cécile and DeWitt, Bryce, Relativity, Groups and Topology, (Blackie and Son Ltd, Glasgow), Especially p615-624, ISBN 0-444-86858-5
• Griffiths, David J. (1987). 《Introduction to Elementary Particles》. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60386-4. 
• Halliwell, J.J.; Orwitz, M. “Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology”. arXiv:gr-qc/9211004.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Huang, Kerson (1998). 《Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals》. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-14120-8. 
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
• Pokorski, Stefan (1987ISBN=0-521-36846-4). 《Gauge Field Theories》. Cambridge: Cambridge University Press.  다음 날짜 값 확인 필요: |date= (도움말)
• Schulman, Larry S., Techniques & Applications of Path Integration, Jonh Wiley & Sons (New York-1981) ISBN 0-471-76450-7

• Three Methods for Computing the Feynman Propagator