다각수

수학에서 다각수(多角數, 영어: polygonal number)는 삼각수와 정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수이다. 기하학적으로, 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타낸다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 두 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 된다. 이 경우 늘리려는 두 변에 각각 한 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가된다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬(영어: gnomon)이라고 부른다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열의 부분합을 나타내며, 그노몬은 이 등차 수열의 각 항에 대응한다

정의

자연수 $m\geq 3$ 및 $n$ 이 주어졌을 때, $n$ 번째 $m$ 각수( $m$ 角數, 영어: $m$ -gonal number) $\operatorname {Pol} (m;n)$ 은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {Pol} (m;n)=\sum _{k=0}^{n-1}(1+(m-2)k)={\frac {n((m-2)n-(m-4))}{2}}

특히,

$\operatorname {Pol} (3;n)=n(n+1)/2$ 를 삼각수라고 한다. 1~5번째 삼각수는 다음과 같다 (빨간색 부분은 그노몬을 나타낸다).
$\operatorname {Pol} (4;n)=n^{2}$ 를 정사각수라고 한다. 1~5번째 사각수는 다음과 같다.
$\operatorname {Pol} (5;n)=n(3n-1)/2$ 를 오각수라고 한다. 1~5번째 오각수는 다음과 같다.
$\operatorname {Pol} (6;n)=n(2n-1)$ 를 육각수라고 한다. 1~5번째 육각수는 다음과 같다.

성질

점화식

다음과 같은 점화식이 성립한다.

\operatorname {Pol} (m;n+1)=\operatorname {Pol} (m;n)+(m-2)n+1

생성 함수

다각수의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Pol} (m;n)x^{n}={\frac {x((m-3)x+1)}{(1-x)^{3}}}

페르마 다각수 정리

임의의 자연수는 많아도 $m$ 개의 $m$ 각수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 자연수 $a$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $n_{1},\dots ,n_{m}$ 이 존재한다.

a=\sum _{k=1}^{m}\operatorname {Pol} (m;n_{k})

이를 페르마 다각수 정리라고 한다. (만약 $m'<m$ 에 대하여 $m'$ 개의 $m$ 각수로 나타내려면 $n_{m'+1}=\cdots =n_{m}=0$ 을 취하면 된다.)

예

평면도형수

주어진 자연수 $3\leq m\leq 30$ 에 대하여, $m$ 각수는 다음과 같다.

$m$	명칭	$\operatorname {Pol} (m;n)$	처음 20항 ( $0\leq n\leq 19$ )	OEIS
3	삼각수	$n(n+1)/2$	0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ...	A000217
4	정사각수	$n^{2}$	0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, ...	A000290
5	오각수	$n(3n-1)/2$	0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ...	A000326
6	육각수	$n(2n-1)$	0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ...	A000384
7	칠각수(七角數, 영어: heptagonal number)	$n(5n-3)/2$	0, 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, ...	A000566
8	팔각수	$n(3n-2)$	0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045,	A000567
9	구각수(九角數, 영어: nonagonal number)	$n(7n-5)/2$	0, 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, ...	A001106
10	십각수(十角數, 영어: decagonal number)	$n(4n-3)$	0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, ...	A001107
11	십일각수(十一角數, 영어: hendecagonal number)	$n(9n-7)/2$	0, 1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415, 506, 606, 715, 833, 960, 1096, 1241, 1395, 1558, ...	A051682
12	십이각수(十二角數, 영어: dodecagonal number)	$n(5n-4)$	0, 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, ...	A051624
13	십삼각수(十三角數, 영어: tridecagonal number)	$n(11n-9)/2$	0, 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505, 616, 738, 871, 1015, 1170, 1336, 1513, 1701, 1900, ...	A051865
14	십사각수(十四角數, 영어: tetradecagonal number)	$n(6n-5)$	0, 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550, 671, 804, 949, 1106, 1275, 1456, 1649, 1854, 2071, ...	A051866
15	십오각수(十五角數, 영어: pentadecagonal number)	$n(13n-11)/2$	0, 1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595, 726, 870, 1027, 1197, 1380, 1576, 1785, 2007, 2242, ...	A051867
16	십육각수(十六角數, 영어: hexadecagonal number)	$n(7n-6)$	0, 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640, 781, 936, 1105, 1288, 1485, 1696, 1921, 2160, 2413, ...	A051868
17	십칠각수(十七角數, 영어: heptadecagonal number)	$n(15n-13)/2$	0, 1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685, 836, 1002, 1183, 1379, 1590, 1816, 2057, 2313, 2584, ...	A051869
18	십팔각수(十八角數, 영어: octadecagonal number)	$n(8n-7)$	0, 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730, 891, 1068, 1261, 1470, 1695, 1936, 2193, 2466, 2755, ...	A051870
19	십구각수(十九角數, 영어: nonadecagonal number)	$n(17n-15)/2$	0, 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775, 946, 1134, 1339, 1561, 1800, 2056, 2329, 2619, 2926, ...	A051871
20	이십각수(二十角數, 영어: Icosagonal number)	$n(9n-8)$	0, 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820, 1001, 1200, 1417, 1652, 1905, 2176, 2465, 2772, 3097, ...	A051872
21	이십일각수(二十一角數, 영어: icosihenagonal number)	$n(19n-17)/2$	0, 1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865, 1056, 1266, 1495, 1743, 2010, 2296, 2601, 2925, 3268, ...	A051873
22	이십이각수(二十二角數, 영어: icosidigonal number)	$n(10n-9)$	0, 1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910, 1111, 1332, 1573, 1834, 2115, 2416, 2737, 3078, 3439, ...	A051874
23	이십삼각수(二十三角數, 영어: icositrigonal number)	$n(21n-19)/2$	0, 1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955, 1166, 1398, 1651, 1925, 2220, 2536, 2873, 3231, 3610, ...	A051875
24	이십사각수(二十四角數, 영어: icositetragonal number)	$n(11n-10)$	0, 1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000, 1221, 1464, 1729, 2016, 2325, 2656, 3009, 3384, 3781, ...	A051876
25	이십오각수(二十五角數, 영어: icosipentagonal number)	$n(23n-21)/2$	0, 1, 25, 72, 142, 235, 351, 490, 652, 837, 1045, 1276, 1530, 1807, 2107, 2430, 2776, 3145, 3537, 3952, ...	A255184
26	이십육각수(二十六角數, 영어: icosihexagonal number)	$n(12n-11)$	0, 1, 26, 75, 148, 245, 366, 511, 680, 873, 1090, 1331, 1596, 1885, 2198, 2535, 2896, 3281, 3690, 4123, ...	A255185
27	이십칠각수(二十七角數, 영어: icosiheptagonal number)	$n(25n-23)/2$	0, 1, 27, 78, 154, 255, 381, 532, 708, 909, 1135, 1386, 1662, 1963, 2289, 2640, 3016, 3417, 3843, 4294, ...	A255186
28	이십팔각수(二十八角數, 영어: icosioctagonal number)	$n(13n-12)$	0, 1, 28, 81, 160, 265, 396, 553, 736, 945, 1180, 1441, 1728, 2041, 2380, 2745, 3136, 3553, 3996, 4465, ...	A161935
29	이십구각수(二十九角數, 영어: icosinonagonal number)	$n(27n-25)/2$	0, 1, 29, 84, 166, 275, 411, 574, 764, 981, 1225, 1496, 1794, 2119, 2471, 2850, 3256, 3689, 4149, 4636, ...	A255187
30	삼십각수(三十角數, 영어: triacontagonal number)	$n(14n-13)$	0, 1, 30, 87, 172, 285, 426, 595, 792, 1017, 1270, 1551, 1860, 2197, 2562, 2955, 3376, 3825, 4302, 4807, ...	A254474

중심있는 평면도형수

$m$	명칭	$\operatorname {Pol} (m;n)$	처음 20항 ( $0\leq n\leq 19$ )	OEIS
3	중심있는 삼각수 (centered triangular number)	${\frac {3n(n-1)+2}{2}}$	0, 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, …	A005448
4	중심있는 사각수 (centered square number)	$2n(n-1)+1$	0, 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, …	A001844
5	중심있는 오각수 (centered pentagonal number)	${\frac {5n(n-1)+2}{2}}$	0, 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, …	A005891
6	중심있는 육각수 (centered hexagonal number)	$3n(n-1)+1$	0, 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, …	A003215
7	중심있는 칠각수 (centered heptagonal numbers)	${\frac {7n(n-1)+1}{2}}$	0, 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953, 1072, 1198, …	A069099
8	중심있는 팔각수 (centered octagonal numbers)	$(2n-1)^{2}$	0, 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, …	A016754
9	중심있는 구각수 (centered nonagonal number)	${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}$	0, 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, 1081, 1225, 1378, 1540, …	A060544
10	중심있는 십각수 (centered decagonal number)	$5n(n-1)+1$	0, 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1711, …	A062786

입체도형수

명칭	$\operatorname {Pol} (n)$	처음 20항 ( $0\leq n\leq 19$ )	OEIS
사면체수(tetrahedral number) / 삼각뿔수(triangular pyramidal number)	${\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$	0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, …	A000292
육면체수 / 입방수(cubic number)	$n^{3}$	0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, …	A000578
팔면체수(octahedral number)	${\frac {n(2n^{2}+1)}{3}}$	0, 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, 3894, 4579, …	A005900
십이면체수(dodecahedral number)	${n(3n-1)(3n-2) \over 2}$	0, 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480, 14190, 17296, 20825, 24804, 29260, …	A006566
이십면체수(icosahedral number)	${n(5n^{2}-5n+2) \over 2}$	0, 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, 6384, 7890, 9616, 11577, 13788, 16264, …	A006564
사각뿔수(square pyramidal number)	${\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n$	0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, …	A000330
오각뿔수(pentagonal pyramidal number)	${\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$	0, 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, …	A002411
육각뿔수(hexagonal pyramidal number)	${\frac {n(n+1)(4n-1)}{6}}$	0, 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856, 3417, 4047, 4750, …	A002412
칠각뿔수(heptagonal pyramidal number)	${\frac {n(n+1)(5n-2)}{6}}$	0, 1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, 2380, 2920, 3536, 4233, 5016, 5890, …	A002413

역사

일반적인 다각수는 힙시클레스(그리스어: Ὑψικλῆς)가 기원전 2세기에 처음 정의하였다.

같이 보기

페르마 다각수 정리

외부 링크

“Polygonal number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Polygonal number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.