르베그 덮개 차원

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 의 르베그 덮개 차원 ${\displaystyle \dim X}$ 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 ${\displaystyle n\geq -1}$ 이다.

• 임의의 유한 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 에 대하여, ${\displaystyle \max _{x\in X}|\{C\in {\mathcal {C}}\colon x\in C\}|\leq n+1}$ 인 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 의 열린 세분 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, ${\displaystyle \dim X=\infty }$ 로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.^{[1]:Theorem 1}

단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)

임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.

정규 공간 ${\displaystyle X}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 르베그 덮개 차원 ${\displaystyle \dim X\leq n}$ 
• ${\displaystyle X}$ 의 임의의 닫힌 집합 ${\displaystyle A\subset X}$  및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon A\to S^{n}}$ 에 대하여, ${\displaystyle f}$ 의 ${\displaystyle X}$ 에 대한 확장 ${\displaystyle g\colon X\to S^{n}}$ 이 존재한다. (${\displaystyle S^{n}}$ 은 초구)

위상 공간 ${\displaystyle X}$  및 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 에 대하여, 만약 ${\displaystyle Y}$ 가 닫힌집합이거나,^{[2]:11, Proposition 2.11} ${\displaystyle X}$ 가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \dim Y\leq \dim X}$ 

정규 공간 ${\displaystyle X}$  및 부분 집합 ${\displaystyle Y,Z\subseteq X}$ 에 대하여, 만약 ${\displaystyle X=Y\cup Z}$ 라면, 다음이 성립한다.^{[2]:25, Proposition 4.8} (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)

${\displaystyle \dim(Y\cup Z)\leq \dim Y+\dim Z+1}$ 

위상 공간 ${\displaystyle X,Y}$ 가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식

${\displaystyle \dim(X\times Y)\leq \dim X+\dim Y}$ 

이 성립한다.

• ${\displaystyle X,Y}$ 는 콤팩트 공간이다.^{[1]:214, Theorem 4}
• ${\displaystyle X}$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle Y}$ 는 정규 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle X\times Y}$ 는 정규 공간이다.^{[3]:208, Theorem 3.4.6}
• ${\displaystyle X}$ 는 거리화 가능 공간이며, ${\displaystyle Y}$ 는 정규 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle X\times Y}$ 는 정규 공간이다.^{[3]:209–210, Theorem 3.4.9}

다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.

• ${\displaystyle X}$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle Y}$ 는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{[3]:207, Theorem 3.4.4}

다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.

• ${\displaystyle X,Y}$ 는 거리화 가능 공간이다.^{[1]:219, Theorem 8}

정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$ 와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.^{[3]:182, Exercise 3.1.J}

${\displaystyle \dim \beta X=\dim X}$ 

${\displaystyle n}$ 차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle n}$ 이다. 보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle n}$ 차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle n}$ 이다.

공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다.

르베그 덮개 차원이 ${\displaystyle -1}$ 인 공간은 공집합밖에 없다.

조르겐프라이 직선 ${\displaystyle S}$ 의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 ${\displaystyle S\times S}$ 의 르베그 덮개 차원은 ${\displaystyle \infty }$ 이다.^{[4]:2, Theorem 1}

${\displaystyle \dim S=0}$ 

${\displaystyle \dim S\times S=\infty }$ 

앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다.

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Menger, Karl (1928). 《Dimensionstheorie》 (독일어). 라이프치히: B. G. Teubner. 
• Pears, A. R. (1975). 《Dimension Theory of General Spaces》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8. 
• V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

• “Lebesgue dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

• 귀납적 차원