교대군

대칭군 ${\displaystyle S_{n}}$ 의 각 원소들은 순열의 홀짝성에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 군 준동형

${\displaystyle p\colon S_{n}\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ 

을 이룬다. 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$ 은 이 준동형의 핵이다.

${\displaystyle A_{n}\cong \ker p\triangleleft S_{n}}$ 

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to A_{n}\hookrightarrow S_{n}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 1}$ 

${\displaystyle n>1}$ 인 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$ 은 ${\displaystyle n!/2}$ 개의 원소를 가지며, ${\displaystyle n<3}$ 인 경우 교대군은 자명군이다. ${\displaystyle n>1}$ 인 교대군 ${\displaystyle A_{n}}$ 은 대칭군 ${\displaystyle S_{n}}$ 의 교환자 부분군이다.

교대군이 아벨 군일 필요충분조건은 ${\displaystyle n\leq 3}$ 이다. 단순군일 필요충분조건은 ${\displaystyle n=3}$ 이거나 ${\displaystyle n\geq 5}$ 이다.

${\displaystyle A_{4}}$ 는 클라인 4원군을 정규 부분군으로 가진다.

낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.

• Vil'yams, N. N. (2001). “Alternating group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Alternating group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.