正則性公理

正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。

空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。

${\displaystyle \forall A{\bigl (}A\neq \varnothing \implies \exists x\in A,\forall t\in A(t\notin x){\bigr )}}$

以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない^[1]。

• ∀x ≠ ∅ に対して、∃y∈x; x ∩ y = ∅
• ∀xについて、∈ が x 上整礎関係
• V = WF

ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。

ZF公理系内に限って話を進める。各順序数 α に対して R(α) を次のように定義する（${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ は冪集合）。

1. ${\displaystyle R(0)=\varnothing }$
2. ${\displaystyle R(\alpha +1)={\mathcal {P}}(R(\alpha ))}$
3. α が極限順序数のとき、${\displaystyle R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )}$

クラス WF はこれらを全て集めたものとして定義される。

${\displaystyle {\mathit {WF}}=\bigcup _{\alpha \in {\mathit {ON}}}R(\alpha )}$

ZF公理系の他の公理から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常に WF 内に含まれる。すなわち V = WF の仮定は、全ての集合を ∅ に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えばx = {x}のような集合やx ∈ yかつy∈ xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。

WF の定義より、x ∈ WF のとき、x ∈ R(α) を満たす最小の順序数 α は後続順序数になる。実際、α を極限順序数として x ∈ R(α) 及び ∀β < α, x ∉ R(β) が成り立っているとすると、

${\displaystyle x\notin \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}$

となって矛盾する。

そこで、集合 x のランクを次のように定義する。

x ∈ WF のとき、x ∈ R(β + 1) を満たす最小の β を集合 x のランクといい、rank(x) で表す。

よって、rank(x) = β ならば

${\displaystyle \forall \alpha >\beta ;x\in R(\alpha )}$

が成り立ち、x ∈ R(β) かつ x ⊂ R(β) となる。また、このランクの概念を用いて R(α) は次のように特徴付けられる。

${\displaystyle \forall \alpha ;R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}}$

及び、

${\displaystyle \forall x\in {\mathit {WF}}{\bigl (}\operatorname {rank} (x)<\alpha \iff \exists \beta <\alpha ;x\in R(\beta +1)\iff x\in R(\alpha ){\bigr )}}$

ランクを計算するときに次の補題を使う。

${\displaystyle y\in {\mathit {WF}}}$のとき、

${\displaystyle x\in y\implies x\in {\mathit {WF}}}$

かつ

${\displaystyle \operatorname {rank} (x)<\operatorname {rank} (y)}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (y)=\alpha }$ とすると ${\displaystyle y\in R(\alpha +1)={\mathcal {P}}(R(\alpha ))}$

${\displaystyle x\in y}$ ならば ${\displaystyle x\in R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}}$だから${\displaystyle \operatorname {rank} (x)<\alpha }$

1. ^ Kunen 1980, p. 101, Ⅲ, §4.1

• Halmos, Paul R. (2015-04-22), Naive Set Theory (paperback ed.), Benediction Classics, ISBN 978-1-78139-466-3 
• ポール・ハルモス『素朴集合論』富川滋 訳、ミネルヴァ書房、1975年。ISBN 4-623-00986-6。 
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 9780444868398 

• 整礎的集合
• 公理的集合論
• 集合論

• 西村敏男『集合論』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Axiom of Foundation". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
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研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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