正多角形

全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形

正多角形(せいたかっけい、せいたかくけい、: regular polygon)とは、全てのの長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では断りのない限り n は3以上の自然数とする。

正多角形の一覧。(左上から)正三角形、正四角形(正方形)、正五角形正六角形正七角形、…

正多角形は線対称であり、正n角形の対称軸は n本である。また、正偶数角形は点対称でもある。

頂点の数が同じ正多角形同士は全て互いに相似である。

ユークリッド幾何学

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緑色の線分は、正n角形を合同な二等辺三角形にn等分したときの高さ

正多角形の全ての頂点は同一円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形(正方形)とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

n角形の一つの内角の大きさを度数法で表すと

 

である。どの内角も180°より小さいので、全ての正多角形は凸多角形である。

n角形の面積は一辺を a とすると

 

と表される。この式は、正n角形の外心と各頂点を線分で結ぶと、合同な n個の二等辺三角形に分割できることで導出される。(二等辺三角形の高さが   となる。)

多角形 F に対して、頂点が F の辺上にあり、なおかつ F の内部にあるとき、多角形は多角形 F に内接するという。また、F の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形 F に外接するという。

(例):正六角形ABCDEFにおいて、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは正六角形ABCDEFに内接する図形である。

以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが a である正n角形 F において、F に内接する正n角形で、面積が最小であるものの面積 sF に外接する正n角形で、面積が最大であるものの面積 S はそれぞれ、

 
 

と表される[疑問点]

正多角形の重心は、外心および内心に一致する。正偶数角形に限れば、最長の対角線同士の交点と一致する。

半径が一定の円に内接する正n角形は、n → ∞ とするとそのに近づくので、十分大きい n について「周長÷外接円直径」を計算すると円周率近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である」ということである。

正多角形は線対称である。その軸の本数は頂点の個数に等しい。

  • 2n角形(n は2以上の自然数)の n組の対辺はそれぞれ平行である。さらに点対称でもある。
  • 正奇数角形においては、どの2辺も平行でない。

内角の求め方

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n角形の内角は、次のようにして求めることができる。

n角形の内角の

180°(n − 2)

であり、正多角形の内角は等しいから、1つの内角は

 

となる。

多角形の外角の和は360°であることを用いると、正n角形の外角は

 

であるから、それに対する内角は

 

となる。

対角線の長さ

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n角形の対角線の長さの種類は

 

だけある(xガウス記号)。一���の長さを a とすると、m番目に短い対角線の長さは

 

である。m = 0 のとき辺の長さ、m = 1 のとき最短の対角線の長さを表す。

コンパスと定規を用いて描けるもの

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p素数とする。正p角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数 pフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない(2の冪)場合のみ作図することが可能である。

例:正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae(『ガウス整数論』)の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

作図可能性の比較

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正多角形(正四十角形まで)が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。

正多角形 定規とコンパスによる作図 折紙による作図 ネウシス作図
(Neusis)
備考
正三角形
正方形
正五角形
正六角形
正七角形 × ピアポント素数も参照のこと。
正八角形
正九角形 ×
正十角形
正十一角形 × × ×→○[1] 折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能[2]。2重折りで作図可能[3]
正十二角形
正十三角形 ×
正十四角形 ×
正十五角形
正十六角形
正十七角形 フェルマー素数も参照のこと。
正十八角形 ×
正十九角形 ×
正二十角形
正二十一角形 ×
正二十二角形 × × ×→○[1]
正二十三角形 × × ×
正二十四角形
正二十五角形 × × 未解決問題
正二十六角形 ×
正二十七角形 ×
正二十八角形 ×
正二十九角形 × × ×
正三十角形
正三十一角形 × × 未解決問題
正三十二角形
正三十三角形 × × ×→○
正三十四角形
正三十五角形 ×
正三十六角形 ×
正三十七角形 ×
正三十八角形 ×
正三十九角形 ×
正四十角形

p角形(p は3以上の素数)、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos(2π/2n+1) は、n次方程式の解として求められる[4]

n 2n+1 方程式の次数 方程式の次数(素因数分解) 定規とコンパス
作図
折り紙
作図
1 正3角形 1次方程式 1次方程式
2 正5角形 2次方程式 2次方程式
3 正7角形 3次方程式 3次方程式 ×
5 正11角形 5次方程式 5次方程式 × ×
6 正13角形 6次方程式 (2×3)次方程式 ×
8 正17角形 8次方程式 (2×2×2)次方程式

楕円幾何学

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最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

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最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

脚注

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  1. ^ a b On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass
  2. ^ 西村保三、山本一海「折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第3号、福井大学教育地域科学部、2012年、59-66頁、ISSN 2185-369XNAID 110009552129 
  3. ^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213. https://cms.math.ca/crux/v44/n5/. 
  4. ^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 - YouTube

関連項目

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