Vettore d'onda

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In fisica il vettore d'onda k è un vettore relativo ad un'onda, che ha come modulo il numero d'onda angolare k, come direzione e verso quelli della propagazione dell'onda. Per cui si ha che:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {\mathbf {v} }}}$

in cui ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$ è il versore dell'onda considerata. Per quanto riguarda il modulo del vettore d'onda si ha che:

${\displaystyle |{\vec {\mathbf {k} }}|={\frac {2\pi }{\lambda }}=2\pi {\bar {\nu }}}$

Da questa equazione si deduce anche la relazione che intercorre tra lunghezza d'onda ${\displaystyle \lambda }$ e numero d'onda ${\displaystyle {\bar {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}}$ .

Esprimendo il vettore d'onda k in funzione della velocità della luce ${\displaystyle c}$, dalla relazione della lunghezza d'onda

${\displaystyle f\lambda =c}$

risulta

${\displaystyle |{\vec {\mathbf {k} }}|={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{c}}={\frac {\omega }{c}}}$

dove si è tenuto conto della relazione ${\displaystyle 2\pi f=\omega }$, che lega la velocità angolare ${\displaystyle \omega }$ alla frequenza ${\displaystyle f}$.

Si consideri un'onda piana. L'ampiezza ${\displaystyle \psi }$ dell'oscillazione in un punto ${\displaystyle x}$ lungo l'asse ${\displaystyle X}$ al tempo ${\displaystyle t}$ è

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi )}$

dove ${\displaystyle A}$ è l'ampiezza massima, ${\displaystyle k}$ il numero d'onda angolare, ${\displaystyle \omega }$ la velocità angolare e ${\displaystyle \phi }$ la costante di fase.

Si può facilmente estendere la formula per valutare l'ampiezza dell'oscillazione in qualsiasi punto dello spazio tridimensionale, usando il prodotto scalare del vettore d'onda ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ con il vettore posizione ${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} }}}$:

${\displaystyle \psi ({\vec {\mathbf {r} }},t)=A\cos({\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {r} }}-\omega t+\phi )}$

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