Analisi della correlazione canonica

In statistica, l'analisi della correlazione canonica (CCA nell'acronimo inglese) è un metodo per inferire informazioni da matrici di covarianza incrociata. Dati due vettori di variabili aleatorie ${\textstyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ e ${\textstyle Y=(Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$ con correlazioni fra di esse, la CCA mira a trovare combinazioni lineari di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ che presentino la massima correlazione fra loro^[1]. Il metodo è stato proposto per primo da Harold Hotelling nel 1936, sebbene l'idea fosse presente già nel 1875 in una pubblicazione^[2] del matematico Camille Jordan.

Dati due vettori colonna ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})'}$ e ${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})'}$ di variabili aleatorie, si definisce la covarianza incrociata ${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)}$ come matrice ${\displaystyle n\times m}$ il cui elemento ${\displaystyle (i,j)}$ è la covarianza ${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}$. Nella pratica, si stima la matrice di covarianza in base a dati campionati da ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ (ossia da una coppia di matrici di dati).

La CCA parte dalla ricerca dei vettori ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$) e ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m}}$) tali che le variabili aleatorie ${\displaystyle a^{T}X}$ e ${\displaystyle b^{T}Y}$ massimizzino la correlazione ${\displaystyle \rho =\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)}$. Le variabili aleatorie ${\displaystyle U=a^{T}X}$ e ${\displaystyle V=b^{T}Y}$ costituiscono la prima coppia di variabili canoniche. Si cercano in seguito i vettori che massimizzano la stessa correlazione con il vincolo aggiuntivo di non essere correlati con la prima coppia di variabili canoniche; si definisce così la seconda coppia di variabili canoniche.

Tale procedura può essere ripetuta fino a ${\displaystyle \min\{m,n\}}$ volte.

$${\displaystyle (a',b')={\underset {a,b}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)}$$

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