Funzione beta di Eulero

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

${\displaystyle \beta (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,}$

dove sia ${\displaystyle x}$ che ${\displaystyle y}$ hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \beta (x,y)=\beta (y,x).}$

Inoltre valgono anche le due seguenti identità:

${\displaystyle \beta (1,1)=1;}$

${\displaystyle \beta \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi .}$

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

${\displaystyle \beta (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}};}$

${\displaystyle \beta (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;}$

${\displaystyle \beta (x,y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;}$

${\displaystyle \beta (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\dfrac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}};}$

dove ${\displaystyle \Gamma (x)}$ è la funzione Gamma e ${\displaystyle (x)_{n}}$ è il fattoriale discendente, cioè ${\displaystyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$. In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$.

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero ${\displaystyle n}$ il suo risultato è il fattoriale di ${\displaystyle n-1}$, la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali; più precisamente è

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\operatorname {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{+\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\int _{0}^{+\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v.}$

Ora poniamo ${\displaystyle u\equiv a^{2}}$, ${\displaystyle v\equiv b^{2}}$ in modo che:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=4\int _{0}^{+\infty }e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{+\infty }e^{-b^{2}}b^{2y-1}\mathrm {d} b\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}}$

Trasformiamo in coordinate polari con ${\displaystyle a=r\cos \theta }$, ${\displaystyle b=r\sin \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\\&=\int _{0}^{+\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }|\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta |\,\mathrm {d} \theta =\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})\,\cdot 4\int _{0}^{\pi /2}\ \cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=2\Gamma (x+y)\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=\Gamma (x+y)\beta (x,y).\end{aligned}}}$

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

${\displaystyle \beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\beta (x,y)=\beta (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\beta (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}$

dove ${\displaystyle \psi (x)}$ è la funzione digamma.

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

${\displaystyle \beta (x;a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t.}$

Per ${\displaystyle x=1}$, la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\beta (x;a,b)}{\beta (a,b)}}.}$

Calcolando l'integrale per valori interi di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, si ottiene:

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Valgono le seguenti identità:

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0;}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1;}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a).}$

• (EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson, A course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1915, p. 247.
• (EN) T. M. MacRobert, Functions of a complex variable, Londra, MacMillan, 1917, p. 144.
• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington, Governement Printing Office, 1964. [1] (funzione beta) p. 263 (funzione beta incompleta)

• Eulero
• Integrale
• Funzione gamma
• Tavola degli integrali definiti
• Teoria delle stringhe
• Variabile casuale beta
• Variabile casuale binomiale
• Distribuzione continua uniforme

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione beta di Eulero

• Eulero, funzione beta di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Euler beta function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Beta Function, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Beta-function, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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