In matematica , la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:[ 1]
Grafico della funzione secante
sec
α
=
1
cos
α
.
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.}
Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo
Data una circonferenza unitaria di centro
O
{\displaystyle O}
, l'angolo al centro
θ
{\displaystyle \theta }
tale che
θ
≠
π
2
+
k
π
{\displaystyle \theta \not ={\frac {\pi }{2}}+k\pi }
, con
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
, individua su questa un punto
C
{\displaystyle C}
. La retta tangente alla circonferenza in
C
{\displaystyle C}
interseca l'asse
x
{\displaystyle x}
nel punto
B
{\displaystyle B}
; si definisce secante di
θ
{\displaystyle \theta }
l'ascissa del punto
B
{\displaystyle B}
così definito (vedi Fig. 2).
In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente[ 2] : da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora , si ottengono le formule:
sec
2
θ
=
1
+
tan
2
θ
,
{\displaystyle \sec ^{2}\theta =1+\tan ^{2}\theta ,}
sec
θ
=
1
+
tan
2
θ
,
{\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }},}
comunque deducibili dalla definizione di secante.[ 3]
La funzione secante è definita su tutto
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
tranne che nei punti
x
=
π
2
+
k
π
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }
, con
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
, mentre la sua immagine è tutto l'insieme
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
escluso l'intervallo
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
.
sec
:
R
∖
{
π
2
+
k
π
,
k
∈
Z
}
→
R
∖
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \sec :\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right)}
Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna
Dimostriamo che
sec
θ
=
1
cos
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
.
Il triangolo
A
O
G
△
{\displaystyle {\overset {\vartriangle }{AOG}}}
è simile al triangolo
C
O
B
△
{\displaystyle {\overset {\vartriangle }{COB}}}
(vedi fig.1).
Per il teorema di Talete vale la proporzione:
O
C
O
B
=
O
G
O
A
{\displaystyle {OC \over OB}={OG \over OA}}
Ora
O
B
=
cos
θ
,
{\displaystyle OB=\cos \theta ,}
O
C
=
1
,
{\displaystyle OC=1,}
O
G
=
sec
θ
,
{\displaystyle OG=\sec \theta ,}
O
A
=
1.
{\displaystyle OA=1.}
Quindi:
1
cos
θ
=
sec
θ
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\sec \theta }{1}},}
da cui
sec
θ
=
1
cos
θ
.
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}.}
Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine
modifica
I punti
x
=
π
2
+
k
π
∈
R
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi \in \mathbb {R} }
devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione
cos
{\displaystyle \cos }
si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha
∀
x
∈
R
,
−
1
≤
cos
x
≤
1
,
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad -1\leq \cos x\leq 1,}
ossia
∀
x
∈
R
,
cos
x
≥
−
1
∧
cos
x
≤
1.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \cos x\geq -1\wedge \cos x\leq 1.}
Pertanto
∀
x
∈
R
,
1
cos
x
=
sec
x
≤
−
1
∧
1
cos
x
=
sec
x
≥
1
,
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\leq -1\wedge {\frac {1}{\cos x}}=\sec x\geq 1,}
ossia
∀
x
∈
R
,
sec
x
∈
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
]
=
R
∖
(
−
1
,
1
)
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \sec x\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right]=\mathbb {R} \setminus \left(-1,1\right).}
Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \sec x={1 \over \cos x}}
:[ 1]
x
{\displaystyle x}
in radianti
0
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
5
12
π
{\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
π
{\displaystyle \pi }
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
x
{\displaystyle x}
in gradi
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
1
{\displaystyle 1}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
{\displaystyle 2}
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}
∄
{\displaystyle \nexists }
−
1
{\displaystyle -1}
∄
{\displaystyle \nexists }
1
{\displaystyle 1}
La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente [ 4] :
d
d
x
sec
x
=
d
d
x
1
cos
x
=
sin
x
cos
2
x
=
sec
x
⋅
tan
x
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.}
d
2
d
x
2
sec
x
=
d
d
x
tan
x
cos
x
=
d
d
x
sin
x
cos
2
x
=
1
+
sin
2
x
cos
3
x
=
sec
3
x
(
1
+
sin
2
x
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).}
Relazione trigonometrica secante-cosecante
modifica
Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria
(
cos
2
x
+
sin
2
x
=
1
)
{\displaystyle (\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)}
è la seguente relazione tra secante e cosecante :
c
o
s
e
c
2
x
+
sec
2
x
=
c
o
s
e
c
2
x
⋅
sec
2
x
{\displaystyle \mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x}
per ogni
x
≠
k
π
2
{\displaystyle x\neq k{\pi \over 2}}
con
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
.
La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per
sin
2
x
⋅
cos
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}
.
^ a b Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.182
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria , Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 . p.182
^
sec
2
θ
=
1
cos
2
θ
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
cos
2
θ
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sec ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=1+\tan ^{2}\theta }
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p. V17
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4 , Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria , Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6 .
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
secante , su Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
secante , in Dizionario delle scienze fisiche , Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 1996.
secante , su Vocabolario Treccani , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
secànte , su sapere.it , De Agostini .
secante , in Enciclopedia della Matematica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 2013.
(EN ) secant , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN ) Eric W. Weisstein, Secante , su MathWorld , Wolfram Research.
(EN ) Secante , su Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society.