Controllabilità

Dato un sistema lineare:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$ 

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$ 

esiste un controllo ${\displaystyle u}$  dallo stato ${\displaystyle x_{0}}$  al tempo ${\displaystyle t_{0}}$  allo stato ${\displaystyle x_{1}}$  al tempo ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$  se e solo se ${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$  è nello spazio delle colonne di:

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$ 

dove ${\displaystyle \phi }$  è la matrice di transizione di stato e ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$  è la matrice gramiana di controllabilità.

Infatti, se ${\displaystyle \eta _{0}}$  è la soluzione di:

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$ 

allora il controllo dato da:

${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$ 

realizza il trasferimento richiesto.

Si nota che ${\displaystyle W}$  in questo modo è simmetrica, semidefinita positiva e soddisfa le equazioni:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$ 

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$ 

Dato il sistema lineare stazionario (LTI):

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$ 

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {x} }$  ha dimensione ${\displaystyle n\times 1}$  ed è il vettore di stato, ${\displaystyle \mathbf {y} }$  ha dimensione ${\displaystyle m\times 1}$  ed è l'uscita, ${\displaystyle \mathbf {u} }$  ha dimensione ${\displaystyle r\times 1}$  ed è l'ingresso (controllo), ${\displaystyle A}$  ha dimensione ${\displaystyle n\times n}$ , ${\displaystyle B}$  ha dimensione ${\displaystyle n\times r}$ , ${\displaystyle C}$  ha dimensione ${\displaystyle m\times n}$  e ${\displaystyle D}$  ha dimensione ${\displaystyle m\times r}$ .

La matrice di controllabilità ha dimensione ${\displaystyle n\times nr}$  ed ha la forma:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$ 

Il sistema LTI è controllabile se la matrice ha tutte le colonne (o tutte le righe) linearmente indipendenti (ha rango ${\displaystyle n}$ ).

In modo equivalente, il sistema:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$ 

è controllabile se per ogni coppia di stati iniziale ${\displaystyle x_{0}=x(0)}$  e finale ${\displaystyle x_{f}}$  esistono un tempo ${\displaystyle T<\infty }$  e un ingresso ${\displaystyle u}$  tali che:

${\displaystyle x(T)=e^{At}x_{0}+\int _{0}^{T}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau =x_{f}}$ 

Per un sistema a tempo discreto (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ) l'equazione di stato ha la forma:

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$ 

dove ${\displaystyle A}$  è una matrice ${\displaystyle n\times n}$  e ${\displaystyle B}$  ha dimensione ${\displaystyle n\times r}$  matrix (${\displaystyle \mathbf {u} }$  sono ${\displaystyle r}$  input in un vettore colonna ${\displaystyle r\times 1}$ ). Similmente al caso continuo, se la matrice ${\displaystyle n\times nr}$  data da:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$ 

ha rango massimo (pari ad ${\displaystyle n}$ ) il sistema è controllabile.

L'insieme degli stati raggiungibili è dato dall'immagine ${\displaystyle Im(C)}$  di ${\displaystyle C}$ , mentre l'insieme degli stati controllabili è dato da ${\displaystyle A^{-n}Im(C)}$ . Se ${\displaystyle C}$  ha rango massimo i due insiemi coincidono.

Infatti, preso lo stato ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$  al tempo iniziale ${\displaystyle k=0}$ , l'equazione di stato fornisce:

${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)}$ 

allora:

${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$ 

e procedendo in tal modo (ovvero effettuando ricorsivamente la sostituzione del vettore ${\displaystyle {\textbf {x}}}$  delle variabili di stato al tempo precedente) si ottiene una forma del tipo:

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$ 

o in modo equivalente:

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$ 

Assegnando un valore a ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$ , l'equazione può essere sempre risolta per un vettore di vettori di controllo ${\displaystyle {\textbf {u}}^{T}(n-i)}$  se e soltanto se la matrice delle matrici ${\displaystyle B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B}$  ha rango massimo.

• (EN) Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 3rd, Upper Saddle River, NJ, Prentice-Hall, 1997, ISBN 0-13-227307-1.
• (EN) Roger W. Brockett, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5.
• (EN) Jean-Pierre Aubin, Viability Theory, Birkhauser, 1991, ISBN 0-8176-3571-8.
• (EN) Jan Polderman, Jan Willems, Introduction to Mathematical Systems Theory: A Behavioral Approach, 1st, New York, Springer Verlag, 1998, ISBN 0-387-98266-3.
• (EN) Brian D.O. Anderson e John B. Moore, Optimal Control: Linear Quadratic Methods, Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall, 1990, ISBN 978-0-13-638560-8.

• Attrattore
• Controllo automatico
• Matrice di transizione di stato
• Matrice gramiana di controllabilità
• Osservabilità
• Sistema dinamico
• Spazio di stato
• Teoria ergodica
• Teoria della stabilità

• (EN) controllability, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.