Quasigruppo

Un quasigruppo è un magma (Q, *), dove Q è un insieme, * un'operazione binaria ${\displaystyle ^{*}:Q\times Q\to Q}$ , tale che per ogni a, b in Q distinti tra loro esiste un unico elemento x e un unico elemento y tali che:

• a * x = b
• y * a = b

Le uniche soluzioni di queste equazioni sono di sovente scritte come

• x = a \ b
• y = b / a.

Gli operatori \ e / sono denominati rispettivamente di divisione sinistra e divisione destra. Per semplicità assumeremo un quasigruppo non vuoto.

Un quasigruppo con un elemento neutro è un loop. Da qui segue che ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro.

Un loop di Moufang (o Moufang loop) (da Ruth Moufang) è un quasigruppo (L, *) soddisfacente le condizioni:

(a*b)*(c*a) = (a*(b*c))*a per ogni a, b, c in L.

• Qualsiasi gruppo è un quasigruppo, in quanto a * x = b se e solo se ${\displaystyle x=a^{-1}*b}$ , e y * a = b se e solo se ${\displaystyle y=b*a^{-1}}$ . Poiché i gruppi sono associativi, essi sono anche Moufang loops.
• L'insieme Z degli interi con l'operatore di sottrazione (−) forma un quasigruppo.
• L'insieme dei numeri razionali non nulli, ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$  (o dei reali estesi ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ) dotati dell'operazione di divisione (÷) formano un quasigruppo.
• L'insieme ${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$  dove ii = jj = kk = -1 (e tutti gli altri prodotti come nei quaternioni) forma un quasigruppo o un loop o un quadrato latino.
• Ogni spazio vettoriale forma un quasigruppo idempotente e commutativo rispetto alla l'operazione x * y = (x + y) / 2.
• Ogni triplo sistema di Steiner è un quasigruppo idempotente e commutativo.
• Un insieme di ottonioni non nulli forma un Moufang loop rispetto alla moltiplicazione.
  • Il sottoinsieme di ottonioni unitari (i.e quelli con norma 1) sono chiusi rispetto alla moltiplicazione e dunque generano una 7-sfera con struttura di un Moufang loop.

Da notare che un quasigruppo ha una proprietà di cancellazione:

Se a * b = a * c, allora b = c.

Questo perché x = b è certamente una soluzione dell'equazione a * b = a * x e le soluzioni devono essere uniche.

Similarmente, Se a * b = c * b, allora a = c.

La tavola di composizione di un quasigruppo finito è un quadrato latino: Un quadrato latino di ordine n è ogni matrice quadrata di aspetto n × n le cui entrate costituiscono un insieme di n elementi tale che ciascuno di essi compare esattamente una volta in ogni riga e una volta in ogni colonna della matrice. Inversamente, ogni quadrato latino può rappresentare la tavola pitagorica di un quasigruppo.

Si dimostra facilmente che i Moufang loop sono dei loop. Sia a un elemento di un Moufang loop M e sia e un elemento tale che a * e = a. Dunque per ogni x in M, segue (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x) e dalla proprietà di cancellazione, x = e * x. Così e è un elemento identitario sinistro.

Sia ora b un elemento tale che b * e = e. Allora per ogni y appartenente a M, y * b = e * (y * b), dove e è un identitario sinistro, dunque (y * b) * e = (e * (y * b)) * e = (e * y) * (b * e) = (e * y) * e = y * e e dalla proprietà di cancellazione y * b = y, così b è un identitario destro.

Infine e = e * b = b, così e è un identitario, o elemento unitario.

Ogni quasigruppo associativo è un Moufang loop. Un loop associativo può banalmente essere un gruppo. Questo in quanto i gruppi sono per la precisione dei quasigruppi associativi. La teoria strutturale dei loop è pressoché analoga a quella dei gruppi.

Sebbene i Moufang loop non siano generalmente associativi, soddisfano tuttavia una forma debole di associatività. Si può dimostrare che, definita un'identità di Moufang (moltiplicazione denotata come giustapposizione)

(ab)(ca) = (a(bc))a

ciascuna delle seguenti è equivalente:

a(b(ac)) = ((ab)a)c

a(b(cb)) = ((ab)c)b

Queste 3 equazioni sono denominate identità di Moufang e ognuna di esse può servire a definire un Moufang loop.

Se assegno vari elementi a un identitario e, si può dimostrare che queste relazioni implicano:

a(ab) = (aa)b

(ab)b = a(bb)

a(ba) = (ab)a

Dunque tutti i Moufang loop sono alternativi (si veda Algebra alternativa). Moufang ha dimostrato inoltre che il subloop generato da uno dei due elementi del Moufang loop è associativo (e dunque è un gruppo). In particolare, i Moufang loop manifestano la associatività della potenza.

Quando si lavora con i Moufang loop, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

• J.D.H. Smith and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra, Wiley-Interscience ISBN 0-471-12738-8.

• Magma (matematica)
• Loop (algebra)
• Left loop
• Semigruppo
• Monoide