Gittata

La gittata è equivalente alla differenza tra punto di arrivo e punto di partenza, dove il punto di arrivo coincide con il punto di contatto con il suolo e il punto di partenza coincide col punto in cui avviene il lancio. L'intervallo temporale in cui il corpo è in aria è detto tempo di volo.

Per ricavare la gittata di un proiettile nel vuoto basta risolvere il sistema costituito dall'equazione della traiettoria e dall'equazione dell'asse delle ascisse (ricavando in particolare il valore che assume ${\displaystyle x}$ ).

${\displaystyle y=\left(\tan \theta \right)x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}}$ 

Imponendo ${\displaystyle y=0}$ , cioè stabilendo il teorico punto di atterraggio del corpo lanciato, l'equazione diventa:

${\displaystyle x\left[(\tan \theta )-\left({\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)x\right]=0}$ 

Escludendo quindi la possibilità che il valore di ${\displaystyle x}$  sia uguale a zero (tale valore corrisponde al punto iniziale della traiettoria), l'equazione risulta:

${\displaystyle (\tan \theta )-\left({\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)x=0}$ 

Ora occorre semplicemente isolare il valore della gittata ${\displaystyle x}$ . In questo modo si ha la formula:

${\displaystyle x={\frac {2v_{0}^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )}{g}}}$ 

semplificabile in:

${\displaystyle x={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\theta )}{g}}}$ 

dove ${\displaystyle x}$  rappresenta la gittata, ${\displaystyle v_{0}}$  la velocità iniziale dell'oggetto (ad esempio la velocità di uscita di un proiettile dalla bocca di un cannone), ${\displaystyle g}$  è l'accelerazione di gravità sulla Terra (circa ${\displaystyle 9.81m/s^{2}}$ ) ed infine ${\displaystyle \theta }$  è l'angolo iniziale della traiettoria rispetto al terreno. Questa equazione non è però valida se la quota finale considerata è diversa dalla quota di lancio; si può inoltre ragionevolmente assumere che per basse velocità essa sia valida anche nel moto attraverso l'aria, mentre a velocità più elevate la differenza tra il moto ipotizzato e quello effettivamente percorso aumenta. Nel caso invece in cui il lancio del proiettile avvenga ad una quota ${\displaystyle h}$ , la gittata si trova risolvendo rispetto a ${\displaystyle x}$  l'equazione di secondo grado:^[2]

${\displaystyle -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}+x\tan \theta +h=0}$ 

dove ${\displaystyle v_{0}}$  è la velocità con cui viene sparato il proiettile, ${\displaystyle \theta }$  l'angolo di tiro e ${\displaystyle h}$  l'altezza (rispetto al suolo) a cui avviene il tiro. L'equazione avrà due radici, una delle quali va scartata perché avente valore negativo, e pertanto priva di senso.

Si noti che ${\displaystyle x}$ , a parità di velocità iniziale, ha valore massimo per ${\displaystyle \sin(2\theta )=1}$ , cioè quando ${\displaystyle 2\theta ={\frac {\pi }{2}}\equiv 90^{\circ }}$ , che corrisponde a ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}\equiv 45^{\circ }}$ . Inoltre a parità di velocità iniziale il valore di ${\displaystyle x}$  è medesimo con angoli di lancio ${\displaystyle \theta }$  ed il loro complementare ${\displaystyle 90^{\circ }-\theta \equiv {\frac {\pi }{2}}-\theta }$ .^[1]

Nel caso in cui il proiettile venga lanciato da un'altezza h diversa da 0, la massima gittata si ha invece per:

cos(θ) = ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2gh+v_{0}^{2}}{2gh+2{v_{0}}^{2}}}}}$ 

Nel semplice caso in cui un proiettile venga sparato con velocità orizzontale da un'altezza ${\displaystyle h}$ , la gittata può essere calcolata direttamente con la formula:^[3]

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {2hv_{0}^{2}}{g}}}}$ 

• Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'Evoluzione della Fisica-Volume 1, Paravia, 2006, ISBN 978-88-395-1609-1.

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