Distanza di Minkowski

La distanza di Minkowski di ordine ${\displaystyle p}$  tra due punti ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$  e ${\displaystyle Q=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$  in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  è definita come:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$ 

Questa distanza si usa tipicamente con ${\displaystyle p=1}$  o ${\displaystyle p=2}$ : il primo caso riconduce alla distanza di Manhattan, mentre il secondo rappresenta la distanza euclidea.

Per ${\displaystyle p\geq 1}$  la distanza di Minkowski è una metrica, nel senso che soddisfa la disuguaglianza triangolare come conseguenza della disuguaglianza di Minkowski. Quando ${\displaystyle p<1}$ , la distanza tra ${\displaystyle (0,0)}$  e ${\displaystyle (1,1)}$  è ${\displaystyle 2^{1/p}>2}$ , ma il punto ${\displaystyle (0,1)}$  è a distanza 1 da entrambi.

Nel caso limite in cui ${\displaystyle p}$  tende a infinito si ha la distanza di Čebyšëv:

${\displaystyle \lim _{p\to +\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}$ 

Per ${\displaystyle p}$  che tende a ${\displaystyle -\infty }$ , in modo simile si ha:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|}$ 

• (EN) John P. van de Geer, Some Aspects of Minkowski Distance, Leiden University, Department of Data Theory, 1995.

• Distanza (matematica)
• Distanza di Čebyšëv
• Distanza euclidea
• Geometria del taxi

• (EN) Jan Schulz - Minkowski distance, su code10.info.