Criterio di convergenza di Cauchy

Il criterio di convergenza di Cauchy asserisce che una successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy. In altre parole, se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle N}$  tale che ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$  per ogni ${\displaystyle n,m>N}$ .

Una successione convergente è sempre di Cauchy, in ogni contesto. La proprietà essenziale che garantisce l'implicazione opposta è la completezza dei numeri reali.

Innanzitutto proviamo che se ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  converge allora è di Cauchy. Per ipotesi,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$ 

cioè per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle N}$  tale che

${\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n>N}$ . Dalla disuguaglianza triangolare si ricava:

${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<2\varepsilon }$ 

per ogni coppia ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle m}$  di numeri maggiori di ${\displaystyle N}$ . Poiché ${\displaystyle 2\varepsilon }$  è "piccolo a piacere", ne segue che ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  è una successione di Cauchy.

Mostriamo l'implicazione inversa. Sia ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Quindi è contenuta in un intervallo chiuso ${\displaystyle [-R,R]}$  per ${\displaystyle R}$  sufficientemente grande. Questo intervallo è un insieme chiuso e limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : un tale insieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$  è compatto per il teorema di Heine-Borel (la completezza di ${\displaystyle \mathbb {R} }$  è fondamentale per ottenere questo risultato).

Poiché la successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  è contenuta in un compatto, esiste una sottosuccessione ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}}$  convergente ad un certo limite ${\displaystyle a}$ . Dalla definizione di limite, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle N}$  tale che

${\displaystyle |a_{n_{k}}-a|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n_{k}>N}$ . Poiché ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  è una successione di Cauchy, esiste ${\displaystyle N'}$  tale che

${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n,m>N'}$ . Quindi

${\displaystyle |a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a-a_{n_{k}}|<2\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n}$  maggiore di ${\displaystyle \max\{N,N'\}.}$ 

Sia ${\displaystyle f}$  una funzione reale definita in un insieme ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$  e sia ${\displaystyle x_{0}}$  un punto di accumulazione di ${\displaystyle X}$  (eventualmente infinito). Allora ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$  esiste ed è reale se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un intorno ${\displaystyle V}$  di ${\displaystyle x_{0}}$  tale che:

${\displaystyle |f(t_{1})-f(t_{2})|<\varepsilon }$ 

per ogni coppia di reali ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in X\cap V}$  e diversi da ${\displaystyle x_{0}}$ .

Dal precedente criterio per i limiti di funzioni, discende il seguente criterio.

Sia ${\displaystyle f:]a,b]\to \mathbb {R} }$  una funzione integrabile secondo Riemann in ogni sottointervallo chiuso contenuto in ${\displaystyle ]a,b]}$ . Allora ${\displaystyle f}$  è integrabile in senso improprio in ${\displaystyle ]a,b]}$  se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un intorno ${\displaystyle U}$  di ${\displaystyle a}$  tale che

${\displaystyle \left|\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in ]a,b]\cap U}$ .

Adattando il discorso alle serie, si può enunciare questo criterio, corollario immediato dell'enunciato precedente. Una serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}}$  a valori reali è convergente se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un ${\displaystyle n_{\varepsilon }}$  tale che per ogni ${\displaystyle n>n_{\varepsilon }}$  e per ogni ${\displaystyle p}$  in ${\displaystyle \mathbb {N} }$  vale che ${\displaystyle |a_{n+1}+..+a_{n+p}|<\varepsilon }$ .

Infatti il termine compreso dentro il valore assoluto non è altro che ${\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|}$ , dove ${\displaystyle \{s_{n}\}}$  è la successione delle somme parziali.

Criteri di convergenza analoghi valgono anche per le successioni di funzioni.

Sia ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$  una successione di funzioni definite in un insieme ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$ . Essa converge puntualmente in ${\displaystyle B\subseteq A}$ se e solo se per ogni ${\displaystyle x\in B}$  e per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un indice ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$  tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n,m>\nu }$ .

In questa definizione, l'indice ${\displaystyle \nu }$  dipende sia dalla scelta del punto ${\displaystyle x}$ , sia dalla scelta di ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Sia ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$  una successione di funzioni definite in un insieme ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$ . Essa converge uniformemente in ${\displaystyle B\subseteq A}$  se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un indice ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$  tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n,m>\nu }$  e ogni ${\displaystyle x\in B}$ .

Come ci si aspetta dalla nozione di convergenza uniforme, in questo caso l'indice ${\displaystyle \nu }$  dipende solamente dalla scelta di ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Dall'applicazione dei due precedenti criteri sulle successioni di funzioni alla successione delle somme parziali di una serie di funzioni si ottengono immediatamente i due seguenti criteri di convergenza.

Sia ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)}$  una serie di funzioni definite in un insieme ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$ . Essa converge puntualmente in ${\displaystyle B\subseteq A}$  se e solo se per ogni ${\displaystyle x\in B}$  e per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un indice ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$  tale che:

${\displaystyle |f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n>\nu }$  (ε,x) e ogni naturale ${\displaystyle p>0}$ .

Sia ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)}$  una serie di funzioni definite in un insieme ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {C} }$ . Essa converge uniformemente in ${\displaystyle B\subseteq A}$  se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un indice ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$  tale che:

${\displaystyle |f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n>\nu }$ ( ε) e ogni naturale ${\displaystyle p>0}$ .

Esiste anche un analogo del criterio di Cauchy per la convergenza di un prodotto infinito.

Il prodotto infinito

${\displaystyle \prod _{n=1}^{+\infty }a_{n}}$ 

converge se e solo se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle \nu }$  tale che:

${\displaystyle |a_{n+1}a_{n+2}\cdot \cdot \cdot a_{n+p}-1|<\varepsilon }$ 

per ogni ${\displaystyle n>\nu }$  e ogni naturale ${\displaystyle p>0}$ .

• (EN) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, 2ª ed., Boston, Addison-Wesley, gennaio 1974, ISBN 0-201-00288-4.
• Giovanni Emmanuele, Analisi Matematica II, Foxwell & Davies Italia s.r.l., 2004, ISBN 978-88-84-48014-9.

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