Costante di Eulero-Mascheroni

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$ 

dove le parentesi ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$  indicano la funzione parte intera;

${\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx;}$ 

${\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)\,dx;}$ 

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)\,dx;}$ 

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)\,dx;}$ 

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)\,dx;}$ 

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy.}$ 

Altri integrali collegati con ${\displaystyle \gamma }$  sono:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }};}$ 

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}(\ln x)^{2}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$ 

La costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right];}$ 

${\displaystyle \gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}};}$ 

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}.}$ 

È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}}$ 

dove, nuovamente, le parentesi ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$  indicano la funzione parte intera. Essa si generalizza in

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\text{se }}b\mid n\\-1&{\text{se }}b\nmid n,\end{cases}}}$ 

per ogni intero ${\displaystyle b\geq 2}$ .

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)=-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right).}$ 

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right),}$ 

${\displaystyle \gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],}$ 

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$ 

Inoltre,

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$ 

dove ${\displaystyle N_{1}(n)}$  e ${\displaystyle N_{0}(n)}$  sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di ${\displaystyle n}$  (Sondow 2005).

• Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

• Funzione Gamma
• Funzione digamma
• Integrale esponenziale

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su costante di Eulero-Mascheroni

• (EN) Eric W. Weisstein, Euler-Mascheroni Constant, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld, su mathworld.wolfram.com.