Calcolo di pi greco

π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:

${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!,}$ 

che permette di calcolare esplicitamente π:

${\displaystyle \pi =A/r^{2}.}$ 

Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà il quadrato della distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:

${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ 

Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$ 

Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di ${\displaystyle \pi }$ .

La formula può essere scritta come:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\Big (}1{\hbox{ se }}x^{2}+y^{2}\leq r^{2},\;0{\hbox{ altrimenti}}{\Big )}.}$ 

In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r² per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.

Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:

In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.

A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {9}{6+{\cfrac {25}{6+{\cfrac {49}{6+{\cfrac {81}{6+{\cfrac {121}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$ 

(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site ^[1].)

La serie di Gregory-Leibniz

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}+\cdots }$ 

è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare ${\displaystyle x=1}$ ; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di ${\displaystyle x}$ ; si giunge quindi a formule dove ${\displaystyle \pi }$  si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ 

Formule per ${\displaystyle \pi }$  di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.

Considerando un triangolo equilatero ed osservando che

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={}^{1}\!\!/\!{}_{2}}$ 

si trova che:

${\displaystyle \pi =3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{n!^{2}(2n+1)2^{4n}}}=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+...}$ 

L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare ${\displaystyle \pi }$  fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.

La formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare ${\displaystyle \pi }$  fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola ${\displaystyle \pi }$  in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre"). ^[2][3]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$ 

Una formula alternativa per il calcolo di ${\displaystyle \pi }$  in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.^[4]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$ 

Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di ${\displaystyle \pi }$  in una base arbitraria in un tempo O(n³log(n)³).^[5]

Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n²).^[6]

Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di ${\displaystyle \pi }$  su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.

Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi ^[7] cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.

•   Wikibooks contiene testi o manuali su calcolo di pi greco

• Una prova del fatto che Pi è irrazionale, su hhr-m.userweb.mwn.de.
• Molte formule per π, dal sito della Wolfram Mathematics, su mathworld.wolfram.com.
• PiHex Project, su oldweb.cecm.sfu.ca. URL consultato il 26 novembre 2007 (archiviato dall'url originale il 13 ottobre 2007).