Funzione L

Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ 

definita sul semipiano complesso Re(s)>σ' per qualche numero reale σ'. Questa serie viene poi prolungata analiticamente a una funzione meromorfa sul piano complesso, andando a definire la funzione L vera e propria. Ad esempio, prolungano la funzione L ottenuta prendendo a_n = χ(n), ove χ è un carattere di Dirichlet, si ottiene la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.

Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ 

che soddisfano i seguenti 4 assiomi:

• Prolungamento analitico: esiste un numero naturale m tale che ${\displaystyle (s-1)^{m}F(s)}$  sia una funzione intera.

• Congettura di Ramanujan: i coefficienti crescono meno di ogni potenza, cioè

${\displaystyle a_{n}<n^{\epsilon }}$ 

per ogni ε > 0.

• Equazione funzionale: esiste una funzione della forma

${\displaystyle \gamma (s)=\epsilon \,Q^{s}\prod _{i=1}^{d}\Gamma (\lambda _{i}s+\mu _{i}),}$ 

ove Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gli λ_j sono numeri reali positivi, e i μ_j sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione

${\displaystyle \Phi (s)=\gamma (s)F(s)}$ 

soddisfi la relazione,

${\displaystyle \Phi (s)={\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}}.}$ 

• Prodotto di Eulero: a₁ = 1 e, per Re(s) > 1

${\displaystyle \log F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}}$ ,

ove b_n = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |b_n| < c n^θ per qualche θ < 1/2 e c > 0.

• Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
• Atle Selberg, Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, in Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, 1992, pp. 367–385, MR 1220477. Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)

• Ipotesi di Riemann generalizzata

• (EN) Progetto sulle funzioni L.
• (EN) Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008
• (EN) Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
• (EN) Hunting the elusive L-function, su physorg.com.