Integral Gauss , juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson , merupakan integral dari fungsi Gauss
f
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}
di sepanjang garis riil. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss , dan dituliskan secara matematis sebagai
Grafik dari fungsi f (x ) = e −x 2 dan luas di antara fungsi tersebut dan sumbu x (yakni, di sepanjang garis), sama dengan
π
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}
.
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan bentuk integral yang rinci pada tahun 1809.[ 1] Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal . Bentuk integral yang sama dengan limit terbatas memiliki kaitan yang erat dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal . Dalam ilmu fisika, jenis fungsi ini sering muncul, sebagai contoh: dalam mekanika kuantum , untuk mencari kepadatan peluang dari keadaan dasar osilator harmonik; dalam mekanika statistika , untuk mencari fungsi partisi .
Menggunakan koordinat polar
sunting
Salah satu cara umum menghitung integral Gauss, berdasar pada ide yang dapat ditelusuri kembali ke Poisson,[ 2] adalah menggunakan sifat:
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
)
2
=
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
d
y
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.}
Selanjutnya, pertimbangkan fungsi
e
−
(
x
2
+
y
2
)
=
e
−
r
2
{\displaystyle e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}}
pada bidang
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
, yang integralnya dapat dihitung menggunakan dua cara:
Di ruas kiri, menggunakan integral lipat dua di sistem koordinat Kartesius , yang hasilnya adalah sebuah kuadrat:
(
∫
e
−
x
2
d
x
)
2
;
{\textstyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}
Di ruas kanan, menggunakan metode kulit (sautu bentuk integral lipat dua dalam koordinat polar ), hasil integralnya sama dengan
π
{\displaystyle \pi }
Integral Gauss dapat dihitung dengan menggabungkan kedua cara tersebut, walau perhatian khusus diperlukan saat berurusan dengan bentuk integral takwajar :
∬
R
2
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
r
d
r
d
θ
=
2
π
∫
0
∞
r
e
−
r
2
d
r
=
2
π
∫
−
∞
0
1
2
e
s
d
s
s
=
−
r
2
=
π
∫
−
∞
0
e
s
d
s
=
lim
x
→
−
∞
π
(
e
0
−
e
x
)
=
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\lim _{x\to -\infty }\pi \left(e^{0}-e^{x}\right)\\[6pt]&=\pi \end{aligned}}}
Faktor
r
{\displaystyle r}
yang ada di ruas kanan berasal dari nilai determinan Jacobi , yang muncul akibat transformasi ke koordinat polar (
r
d
r
d
θ
{\displaystyle r\,dr\,d\theta }
adalah ukuran standar pada bidang, yang dinyatakan dalam koordinat polar). Teknik subtitusi juga dilakukan dengan mengambil
s
=
−
r
2
,
{\displaystyle s=-r^{2},}
sehingga
d
s
=
−
2
r
d
r
.
{\displaystyle ds=-2r\,dr.}
Menggabungkan semua yang telah didapatkan, dihasilkan bentuk
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
)
2
=
π
,
{\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}
sehingga
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
Penggunaan integral lipat dua takwajar dan menyamakan bentuk kedua ekpresi dapat dijustifikasi sebagai berikut. Pertimbangkan fungsi hampiran
I
(
a
)
=
∫
−
a
a
e
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.}
Jika hasil dari integral
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}
konvergen absolut , maka integral tersebut memiliki nilai utama Cauchy ; dengan kata lain limit dari
lim
a
→
∞
I
(
a
)
{\textstyle \lim _{a\to \infty }I(a)}
akan sama dengan hasil integral tersebut. Untuk melihat itu memang terjadi, pertimbangkan bahwa
∫
−
∞
∞
|
e
−
x
2
|
d
x
<
∫
−
∞
−
1
−
x
e
−
x
2
d
x
+
∫
−
1
1
e
−
x
2
d
x
+
∫
1
∞
x
e
−
x
2
d
x
<
∞
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|e^{-x^{2}}\right|dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .}
Ini mengartikan integral
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}
dapat dihitung cukup dengan menghitung limit dari
lim
a
→
∞
I
(
a
)
.
{\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a).}
Menghitung kuadrat dari
I
(
a
)
{\displaystyle I(a)}
akan menghasilkan bentuk
I
(
a
)
2
=
(
∫
−
a
a
e
−
x
2
d
x
)
(
∫
−
a
a
e
−
y
2
d
y
)
=
∫
−
a
a
(
∫
−
a
a
e
−
y
2
d
y
)
e
−
x
2
d
x
=
∫
−
a
a
∫
−
a
a
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
y
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}}
Menggunakan teorema Fubini , integral lipat dua di atas dapat dianggap sebagai integral luas
∬
[
−
a
,
a
]
×
[
−
a
,
a
]
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),}
yang dilakukan di petak persegi dengan sudut-sudut
{
(
−
a
,
a
)
,
(
a
,
a
)
,
(
a
,
−
a
)
,
(
−
a
,
−
a
)
}
{\displaystyle \{(-a,a),\,(a,a),\,(a,-a),\,(-a,-a)\}}
pada bidang-
x
y
.
{\displaystyle xy.}
Karena fungsi eksponesial bernilai positif untuk sebarang bilangan riil, dapat disimpulkan integrasi yang dilakukan pada daerah lingkaran singgung dalam persegi akan bernilai kurang dari
I
(
a
)
2
{\textstyle I(a)^{2}}
sedangkan integrasi pada daerah lingkaran singgung luar persegi akan lebih besar dari
I
(
a
)
2
.
{\textstyle I(a)^{2}.}
Kedua integrasi tersebut dapat mudah dihitung dengan mengubah sistem koordinat dari Kartesius ke polar :
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta .\end{aligned}}}
Transformasi ini memiliki determinan Jacobi
J
(
r
,
θ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
θ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
θ
]
=
[
cos
θ
−
r
sin
θ
sin
θ
r
cos
θ
]
=
r
{\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}=r}
dan elemen luas
d
(
x
,
y
)
=
|
J
(
r
,
θ
)
|
d
(
r
,
θ
)
=
r
d
(
r
,
θ
)
.
{\displaystyle d(x,y)=|\mathbf {J} (r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).}
Dengan demikian, kedua integrasi tadi dapat ditulis sebagai
∫
0
2
π
∫
0
a
r
e
−
r
2
d
r
d
θ
<
I
2
(
a
)
<
∫
0
2
π
∫
0
a
2
r
e
−
r
2
d
r
d
θ
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .}
Mengintegrasi ruas kiri dan ruas kanan,
π
(
1
−
e
−
a
2
)
<
I
2
(
a
)
<
π
(
1
−
e
−
2
a
2
)
.
{\displaystyle \pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)<I^{2}(a)<\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right).}
Akhirnya, dengan menggunakan teorema apit didapatkan
lim
a
→
∞
I
(
a
)
=
π
{\textstyle \lim _{a\to \infty }I(a)=\pi }
, sehingga integral Gauss
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
Teknik berbeda, yang berasal dari Laplace (1812),[ 2] juga dapat digunakan untuk menghitung integral Gauss. Karena fungsi
e
−
x
2
{\textstyle e^{-x^{2}}}
merupakan fungsi genap, hasil integrasi di sepanjang garis riil sama saja dengan dua kali lipat hasil integrasi dari nol sampai takhingga; secara matematis
I
=
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
2
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}
Selanjutnya, dengan menggunakan subtitusi
y
=
x
s
d
y
=
x
d
s
,
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds,\end{aligned}}}
dan memperhatikan variabel
y
{\displaystyle y}
dan
s
{\displaystyle s}
memiliki limit yang sama pada selang integrasi (
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
), bentuk kuadrat dari
I
{\displaystyle I}
dapat dijabarkan seperti berikut
I
2
=
4
∫
0
∞
∫
0
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
y
d
x
=
4
∫
0
∞
(
∫
0
∞
e
−
(
x
2
+
y
2
)
d
y
)
d
x
=
4
∫
0
∞
(
∫
0
∞
e
−
x
2
(
1
+
s
2
)
x
d
s
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}}
Menggunakan teorema Fubini untuk menukar urutan integrasi:
I
2
=
4
∫
0
∞
(
∫
0
∞
e
−
x
2
(
1
+
s
2
)
x
d
x
)
d
s
=
4
∫
0
∞
[
e
−
x
2
(
1
+
s
2
)
−
2
(
1
+
s
2
)
]
x
=
0
x
=
∞
d
s
=
4
(
1
2
∫
0
∞
d
s
1
+
s
2
)
=
2
arctan
(
s
)
|
0
∞
=
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}
Alhasil, terbukti
I
=
π
{\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}
.
Integran dalam integral Gauss merupakan fungsi genap , mengartikan
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
2
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx,}
Jadi, setelah variabel
x
{\displaystyle x}
diubah menjadi
t
{\displaystyle {\sqrt {t}}}
, bentuk integral tersebut berubah menjadi integral Euler
2
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
2
∫
0
∞
1
2
e
−
t
t
−
1
2
d
t
=
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
dengan
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}
adalah fungsi gamma . Hal ini memperlihatkan alasan faktorial dari setengah-bilangan-bulat adalah kelipatan rasional dari
π
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
. Dengan mensubtitusi
t
=
a
x
b
{\displaystyle t=ax^{b}}
di integran, dapat dihasilkan bentuk integral yang lebih umum,
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
b
d
x
=
Γ
(
(
n
+
1
)
/
b
)
b
a
(
n
+
1
)
/
b
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}}}
Integral dari sebarang fungsi Gauss adalah
∫
−
∞
∞
e
−
a
(
x
+
b
)
2
d
x
=
π
a
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}
Integral di atas mempunyai bentuk alternatif, yaitu
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
π
a
e
b
2
4
a
+
c
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.}
Bentuk ini berguna dalam menghitung ekspektasi dari beberapa distribusi probabilitas kontinu yang berkaitan dengan distribusi normal ; seperti distribusi log-normal , sebagai contoh.
Perumuman fungsional dan dimensi-n
sunting
Misalkan
A
{\displaystyle A}
adalah matriks presisi n × n yang simetrik dan definit positif, yang dihasilkan dari invers matriks kovarians . Dapat ditunjukkan
∫
R
n
exp
(
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
)
d
n
x
=
∫
R
n
exp
(
−
1
2
x
T
A
x
)
d
n
x
=
(
2
π
)
n
det
A
=
1
det
(
A
/
2
π
)
=
det
(
2
π
A
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)}\,d^{n}x\\&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}\\&={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}\end{aligned}}}
Dengan melengkapi kuadrat, bentuk di atas dapat diperumum menjadi
∫
R
n
exp
(
−
1
2
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
)
d
n
x
=
det
(
2
π
A
−
1
)
e
1
2
b
T
A
−
1
b
+
c
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}e^{{\frac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}A^{-1}b+c}}
Fakta ini diterapkan dalam studi terkait distribusi normal multivariat . Selain itu,
∫
x
k
1
⋯
x
k
2
N
exp
(
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
)
d
n
x
=
(
2
π
)
n
det
A
1
2
N
N
!
∑
σ
∈
S
2
N
(
A
−
1
)
k
σ
(
1
)
k
σ
(
2
)
⋯
(
A
−
1
)
k
σ
(
2
N
−
1
)
k
σ
(
2
N
)
{\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}
dengan
σ
{\displaystyle \sigma }
menyatakan permutasi dari
{
1
,
⋯
,
2
N
}
{\displaystyle \{1,\,\cdots ,\,2N\}}
dan faktor tambahan di ruas kanan adalah hasil penjumlahan atas semua pasangan kombinatorik
{
1
,
⋯
,
2
N
}
{\displaystyle \{1,\,\cdots ,\,2N\}}
dari
N
{\displaystyle N}
salinan
A
−
1
.
{\displaystyle A^{-1}.}
.
Alternatif lain,[ 3]
∫
f
(
x
→
)
exp
(
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
)
d
n
x
=
(
2
π
)
n
det
A
exp
(
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
(
A
−
1
)
i
j
∂
∂
x
i
∂
∂
x
j
)
f
(
x
→
)
|
x
→
=
0
{\displaystyle \int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}}
Untuk suatu fungsi analitik
f
{\displaystyle f}
, mengasumsikan pertumbuhan fungsi tersebut memenuhi suatu batasan yang masuk akal, dan beberapa kriteria lainnya. Perpangkatan pada operator diferensial dipandang sebagai bentuk deret pangkat .
Perumuman dimensi- n dengan suku linear
sunting
Jika
A
{\displaystyle A}
merupakan matriks simetrik definit-positif, maka (dengan asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom):
∫
e
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
+
∑
i
=
1
n
B
i
x
i
d
n
x
=
∫
e
−
1
2
x
→
T
A
x
→
+
B
→
T
x
→
d
n
x
=
(
2
π
)
n
det
A
e
1
2
B
→
T
A
−
1
B
→
.
{\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.}
Integral dengan bentuk yang serupa
sunting
Misalkan
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat positif dan
!
!
{\displaystyle !!}
menyatakan faktorial ganda . Beberapa integral berikut memiki bentuk yang mirip dengan integral Gauss:
∫
0
∞
x
2
n
e
−
x
2
a
2
d
x
=
π
a
2
n
+
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}
∫
0
∞
x
2
n
+
1
e
−
x
2
a
2
d
x
=
n
!
2
a
2
n
+
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}
∫
0
∞
x
2
n
e
−
a
x
2
d
x
=
(
2
n
−
1
)
!
!
a
n
2
n
+
1
π
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}
∫
0
∞
x
2
n
+
1
e
−
a
x
2
d
x
=
n
!
2
a
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
2
d
x
=
Γ
(
n
+
1
2
)
2
a
n
+
1
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}}
Sebuah cara mudah untuk menghasilkan bentuk-bentuk tersebut adalah dengan mendiferensialkannya terhadap variabel integrasi:
∫
−
∞
∞
x
2
n
e
−
α
x
2
d
x
=
(
−
1
)
n
∫
−
∞
∞
∂
n
∂
α
n
e
−
α
x
2
d
x
=
(
−
1
)
n
∂
n
∂
α
n
∫
−
∞
∞
e
−
α
x
2
d
x
=
π
(
−
1
)
n
∂
n
∂
α
n
α
−
1
2
=
π
α
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
α
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}
Cara lain untuk mendapatkannya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan .
Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada
n
{\displaystyle n}
variabel hanya dapat bergantung pada invarian-SL(n ) dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan , akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.[ 4]