Infinitesimal

Gagasan tentang jumlah kecil yang tak terhingga telah dibahas oleh Sekolah Eleatic. Yunani matematikawan Archimedes (sekitar 287 SM–212 SM), dalam Metode Teorema Mekanik, adalah orang pertama yang mengusulkan definisi infinitesimal yang secara logis ketat.^[5] Properti Archimedean mendefinisikan bilangan x sebagai tak terhingga jika memenuhi syarat |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., dan infinitesimal bila x≠0 dan satu set kondisi serupa berlaku untuk x dan kebalikan dari bilangan bulat positif. Sistem bilangan dikatakan Archimedean jika tidak mengandung anggota yang tak terhingga atau sangat kecil.

Ahli matematika Inggris John Wallis memperkenalkan ekspresi tersebut 1/∞ dalam bukunya yang berjudul Treatise on the Conic Sections pada tahun 1655. Simbol, yang menunjukkan kebalikan, atau kebalikan, dari ∞, adalah representasi simbolik dari konsep matematika Infinitesimal. Dalam bukunya Treatise on the Conic Sections, Wallis juga membahas tentang konsep hubungan antara representasi simbolik infinitesimal 1/∞ yang dia perkenalkan dan konsep ketidakterbatasan yang dia perkenalkan simbol dari ∞. Konsep ini menyarankan eksperimen pikiran untuk menambahkan jajaran genjang dengan lebar tak terhingga untuk membentuk daerah berhingga. Konsep ini adalah pendahulu metode integrasi modern yang digunakan dalam kalkulus integral. Asal-usul konseptual dari konsep infinitesimal 1/∞ dapat ditelusuri sejauh filsuf Yunani Zeno dari Elea, yang paradoks dikotomi Zeno adalah konsep matematika pertama untuk mempertimbangkan hubungan antara interval berhingga dan interval mendekati interval berukuran sangat kecil.

Infinitesimal menjadi subjek kontroversi politik dan agama di Eropa abad ke 17, termasuk larangan infinitesimal yang dikeluarkan oleh para ulama di Roma pada tahun 1632.^[6]

Sebelum penemuan matematikawan kalkulus dapat menghitung garis singgung menggunakan metode Pierre de Fermat dari kecukupan dan René Descartes 'metode normal. Ada perdebatan di antara para ahli tentang apakah metode Infinitesimal atau aljabar. Ketika Newton dan Leibniz menemukan kalkulus, mereka menggunakan infinitesimal, Newton fluks dan Leibniz diferensial. Penggunaan infinitesimal diserang sebagai tidak benar oleh Bishop Berkeley dalam karyanya The Analyst.^[7] Matematikawan, ilmuwan, dan insinyur terus menggunakan infinitesimal untuk menghasilkan hasil yang benar. Pada paruh kedua abad kesembilan belas, kalkulus dirumuskan kembali oleh Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind, dan lainnya yang menggunakan (ε, δ)-definisi limit dan teori himpunan. Sementara pengikut Cantor, Dedekind, dan Weierstrass berusaha menyingkirkan analisis infinitesimals, dan sekutu filosofis mereka seperti Bertrand Russell dan Rudolf Carnap pseudoconcepts, Hermann Cohen dan sekolah Marburg neo Kantianisme berusaha mengembangkan logika kerja infinitesimals.^[8] Studi matematis dari sistem yang mengandung infinitesimals dilanjutkan melalui karya Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymond, dan lainnya, sepanjang akhir abad kesembilan belas dan kedua puluh, seperti yang didokumentasikan oleh Philip Ehrlich (2006). Pada abad ke-20, ditemukan bahwa infinitesimals dapat berfungsi sebagai dasar untuk kalkulus dan analisis (lihat bilangan hiperriil).

Contoh dari kategori 1 di atas adalah bidang deret Laurent dengan sejumlah suku pangkat negatif terbatas. Misalnya, deret Laurent yang hanya terdiri dari konstanta 1 diidentifikasikan 1, dan deret yang hanya memiliki suku linear x dianggap sebagai infinitesimal paling sederhana, dari mana infinitesimal lainnya dibangun. Pengurutan kamus digunakan, yang setara dengan mempertimbangkan pangkat yang lebih tinggi x dapat diabaikan dibandingkan dengan kekuatan yang lebih rendah. David O. Tall^[9] mengacu pada sistem ini sebagai super-real, jangan disamakan dengan sistem angka superreal dari Dales dan Woodin. Karena deret Taylor dievaluasi dengan deret Laurent sebagai argumennya tetap deret Laurent, sistem dapat digunakan untuk melakukan kalkulus pada fungsi transendental jika bersifat analitik. Infinitesimal memiliki properti orde pertama yang berbeda dari real karena, misalnya, the basic infinitesimal x tidak memiliki akar kuadrat.

Lapangan Levi-Civita mirip dengan deret Laurent, tetapi secara aljabar tertutup. Misalnya, bilangan Infinitesimal x memiliki akar kuadrat. Bidang ini cukup kaya untuk memungkinkan dilakukannya banyak analisis, namun elemennya masih dapat direpresentasikan di komputer dalam arti yang sama seperti bilangan riil dapat direpresentasikan dalam floating point.^[10]

Bidang TransDeret lebih besar dari bidang Levi-Civita.^[11] Contoh transderet adalah:

${\displaystyle e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},}$ 

dimana untuk keperluan pemesanan x dianggap tak terbatas.

Angka nyata Conway termasuk dalam kategori 2. Mereka adalah sistem yang dirancang untuk menjadi sekaya mungkin dalam berbagai ukuran angka, tetapi tidak selalu untuk kenyamanan dalam melakukan analisis. Fungsi transendental tertentu dapat dibawa ke surreals, termasuk logaritma dan eksponensial, tetapi kebanyakan, contohnya, fungsi sinus^{[butuh rujukan]}. Keberadaan bilangan surealis tertentu, bahkan yang memiliki padanan langsung di real, tidak diketahui secara apriori, dan harus dibuktikan.^{[butuh klarifikasi]}

Teknik yang paling luas untuk menangani infinitesimal adalah hyperreals, yang dikembangkan oleh Abraham Robinson pada 1960-an. Mereka termasuk dalam kategori 3 di atas, yang telah dirancang sedemikian rupa sehingga semua analisis klasik dapat dibawa dari riilnya. Sifat kemampuan untuk meneruskan semua hubungan secara alami ini dikenal sebagai prinsip transfer, dibuktikan oleh Jerzy Łoś pada tahun 1955. Contohnya, fungsi transendental sin memiliki pasangan alami * sin yang mengambil masukan hiperreal dan memberikan keluaran hiperreal, dan demikian pula himpunan bilangan asli ${\displaystyle \mathbb {N} }$  memiliki pasangan alami ${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$ , yang berisi bilangan bulat terbatas dan tak terbatas. Sebuah proposisi seperti ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$  dibawa ke hiperriil sebagai ${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$  .

Sistem bilangan superriil dari Dales dan Woodin adalah generalisasi dari hyperriil. Ini berbeda dari sistem super-nyata yang ditentukan oleh David Tall.

Dalam aljabar linear, bilangan ganda memperpanjang real dengan menggabungkan satu infinitesimal, elemen baru ε dengan properti ε² = 0 (yaitu, ε adalah nilpotent). Setiap bilangan ganda memiliki bentuk z = a + bε dengan a dan b menjadi bilangan real yang ditentukan secara unik.

Salah satu penerapan angka ganda adalah diferensiasi otomatis. Aplikasi ini dapat digeneralisasikan menjadi polinomial dalam n variabel, menggunakan Aljabar eksterior dari ruang vektor berdimensi-n.

Geometri diferensial sintetis atau analisis halus infinitesimal berakar pada teori kategori. Pendekatan ini berangkat dari logika klasik yang digunakan dalam matematika konvensional dengan menolak penerapan umum dari hukum tengah yang dikecualikan, yaitu, bukan (a ≠ b) tidak harus berarti a = b. A nilsquare atau nilpotent infinitesimal kemudian dapat ditentukan. Ini adalah angka x dimana x² = 0 itu benar, tapi x = 0 tidak perlu benar pada saat bersamaan. Karena logika latar belakang adalah logika intuitionistic, tidak segera jelas bagaimana mengklasifikasikan sistem ini berkenaan dengan kelas 1, 2, dan 3. Analog intuitif dari kelas-kelas ini harus dikembangkan terlebih dahulu.

Cauchy menggunakan infinitesimal ${\displaystyle \alpha }$  untuk menuliskan impuls unit, fungsi delta tipe Dirac yang tinggi tak terhingga dan sempit ${\displaystyle \delta _{\alpha }}$  satisfying ${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$  dalam sejumlah artikel pada tahun 1827, lihat Laugwitz (1989). Cauchy mendefinisikan sangat kecil pada tahun 1821 (Cours d'Analyse) dalam istilah urutan yang cenderung nol. Yakni, urutan nol seperti itu menjadi sangat kecil dalam terminologi Cauchy dan Lazare Carnot.

Pendekatan teori-himpunan modern memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan infinitesimal melalui konstruksi ultrapower, di mana urutan nol menjadi infinitesimal dalam pengertian modulo kelas ekivalen, sebuah relasi yang didefinisikan dalam istilah ultrafilter yang sesuai. Artikel oleh Yamashita (2007) berisi bibliografi tentang fungsi delta Dirac modern dalam konteks kontinum yang diperkaya sangat kecil yang disediakan oleh hyperriil.

Dalam pengertian yang terkait tetapi agak berbeda, yang berkembang dari definisi asli "infinitesimal" sebagai kuantitas yang sangat kecil, istilah tersebut juga telah digunakan untuk merujuk pada fungsi yang cenderung nol. Lebih tepatnya, Kalkulus Tingkat Lanjut Loomis dan Sternberg mendefinisikan kelas fungsi infinitesimal, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ , sebagai bagian dari fungsi ${\displaystyle f:V\to W}$  antara ruang vektor bernorma dengan

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$ ,

serta dua kelas terkait ${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$  (lihat Notasi Big-O) by

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$ ,${\displaystyle =\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$ .^[12]

Inklusi yang ditetapkan ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$ umumnya tahan. Bahwa inklusi tepat ditunjukkan oleh fungsi nilai nyata dari variabel nyata ${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$ , ${\displaystyle g:x\mapsto x}$ , dan ${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$ :

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$  tapi ${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$  dan ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ .

Sebagai aplikasi dari definisi tersebut, sebuah pemetaan ${\displaystyle F:V\to W}$  antara ruang vektor bernorma didefinisikan untuk dibedakan di ${\displaystyle \alpha \in V}$  bila ada ${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$  [yaitu, peta linier berbatas ${\displaystyle V\to W}$ ] seperti yang

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$ 

di lingkungan ${\displaystyle \alpha }$ .

Bila ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$  menjadi ruang probabilitas dan biarkan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Sebuah array ${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$  dari variabel acak s disebut sangat kecil jika untuk setiap ${\displaystyle \epsilon >0}$ , kita punya:^[13]

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$ 

Gagasan tentang larik sangat kecil sangat penting dalam beberapa teorema batas pusat dan mudah dilihat oleh monotonisitas dari ekspektasi operator bahwa larik apa pun memenuhi kondisi Lindeberg sangat kecil, sehingga memainkan peran penting dalam Teorema Batas Pusat Lindeberg (sebuah generalisasi dari teorema batas pusat).