Դիտել Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ էջի աղբյուրը

← Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Ձեզ չի թույլատրվում խմբագրել այս էջը հետևյալ պատճառով.
Your IP address is in a range that has been blocked on all Wikimedia Foundation wikis.
The block was made by ‪EPIC‬. The reason given is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.
Start of block: 08:48, 2 Հուլիսի 2024
Expiry of block: 08:48, 2 Հուլիսի 2025
Your current IP address is 206.189.44.186. The blocked range is 206.189.32.0/20.
Please include all above details in any queries you make. If you believe you were blocked by mistake, you can find additional information and instructions in the No open proxies global policy.
Otherwise, to discuss the block please post a request for review on Meta-Wiki. You could also send an email to the stewards VRT queue at stewards@wikimedia.org including all above details.
Դուք կարող եք դիտել և պատճենել այս էջի ելատեքստը.
'''Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ''' (''շրջանային ֆունկցիաներ'', ''արկֆունկցիաներ''), մաթեմատիկական [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիա]]ներ, որոնք համարվում են [[եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]ի հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.
* [[արկսինուս]] (նշանակում<math>: \mathrm{arcsin}\, x; \mathrm{arcsin}\, x</math> — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է <math>x</math>)
* [[արկկոսինուս]] (նշանակում։ <math>\mathrm{arccos}\, x; \mathrm{arccos}\, x</math> — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է <math>x</math> և այդպես շարունակ)
* [[արկտանգենս]] (նշանակում։ <math>\mathrm{arctg}\, x</math>; գրականության մեջ նաև՝ <math>\mathrm{arctan}\, x</math>)
* [[արկկոտանգենս]] (նշանակում։ <math>\mathrm{arcctg}\, x</math>; գրականության մեջ՝ <math>\mathrm{arccot}\, x</math> կամ <math>\mathrm{arccotan}\, x</math>)
* [[արկսեկանս]] (նշանակում։ <math>\mathrm{arcsec}\, x</math>)
* [[արկկոսեկանս]] (նշանակում։ <math>\mathrm{arccosec}\, x</math>; գրականության մեջ՝ <math>\mathrm{arccsc}\, x</math>)

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով ({{lang-la|'''arc'''us}} — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափական]] ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են [[Միավոր շրջանագիծ|միավոր շրջանագծի]] վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս [[Կարլ Շերֆեր]]ը ({{lang-de|Karl Scherffer}}; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|Լագրանժ]]ին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է [[Դանիել Բերնուլի]]ն՝ [[1729]] թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև [[19-րդ դար]]ի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}</math>, սակայն դրանք չընդունվեցին<ref>{{ռուսերեն գիրք
|автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е
|издательство=ЛКИ |место=СПб. |год=2008 |страницы=211 |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref>։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin{{sup|−1}}, cos{{sup|−1}} եղանակը<ref>Здесь знак {{sup|−1}} определяет функцию {{math|''x'' {{=}} ''f''{{sup|−1}} (''y''), }} [[Обратная функция|обратную]] функции {{math|''y'' {{=}} ''f'' (''x'')}}</ref>, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ [[անկյուն]]ներ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ, <math>\arcsin 1/2</math> իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ <math>\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )</math>, որի սինուսը հավասար է <math>1/2</math>: Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։<br />
Ընդհանուր առմամբ <math>-1 \leqslant \alpha \leqslant 1</math> պայմանի դեպքում <math>\sin x = \alpha</math> հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝ <math>x = (-1)^n \arcsin \alpha + \pi n, ~ n = 0, \pm1, \pm2, \dots ~ .</math>{{sfn|Энциклопедический словарь|1985|loc=|p=|pp=|s=|S=|с=220|g=|name=}}
<!--__NOTOC__-->

== Հիմնական նույնություններ ==
: <math>\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}</math>

: <math>\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}</math>
== Հիմնական հատկություններ ==
=== Գլխավոր արժեքներ ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Անուն
!Նշանակում
!Սահմանում
!Միջակայք
!Անվանական արժքի միջակայք <br /> (ռադիաններով)
!Անվանական արժեքի միջակայք <br /> (աստիճաններով)
|-
| '''arcsine''' || ''y'' = arcsin&nbsp;''x'' || ''x'' = sin&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''arccosine''' || ''y'' = arccos&nbsp;''x'' || ''x'' = cos&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arctangent''' || ''y'' = arctan&nbsp;''x'' || ''x'' = tg&nbsp;''y'' || բոլոր իրական թվերը || −π/2 < ''y'' < π/2 || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''arccotangent''' || ''y'' = arccot&nbsp;''x'' ||''x'' = ctg&nbsp;''y'' || բոլոր իրական թվերը
| 0 < ''y'' < π || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''arcsecant''' || ''y'' = arcsec&nbsp;''x'' || ''x'' = sec&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || 0 ≤ ''y'' < π/2 or π/2 < ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arccosecant''' || ''y'' = arccsc&nbsp;''x'' || ''x'' = csc&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || −π/2 ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ π/2 || -90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}
=== Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև ===
Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.
{|class="wikitable"
|-
!<math> \theta </math>
!<math>\sin \theta </math>
!<math>\cos \theta </math>
!<math>\tan \theta </math>
!Գծագիր
|-
!<math>\arcsin x </math>
|<math>\sin (\arcsin x) = x </math>
|<math>\cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos x </math>
|<math>\sin (\arccos x) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos (\arccos x) = x </math>
|<math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan x </math>
|<math>\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan (\arctan x) = x</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot x </math>
|<math>\sin (\arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos (\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan (\arccot x) = \frac{1}{x}</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec x </math>
|<math>\sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos (\arcsec x) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math> \arccsc x </math>
|<math>\sin (\arccsc x) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos (\arccsc x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan (\arccsc x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[Պատկեր:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|-
|}
=== Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև ===
[[Պատկեր:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|arcsin(''x'') (կարմիր) և arccos(''x'') (կապույտ) ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:]]
[[Պատկեր:Arctangent Arccotangent.svg|294px|right|thumb|arctan(''x'') և arccot(''x'') ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:]]
[[Պատկեր:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|right|thumb|arcsec(''x'') և arccsc(''x'') ֆունկցիաների գրաֆիկների փոխադարձ դասավորությունը:]]

Լրացուցիչ անկյուններ.
:<math>\begin{align}
\arccos x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin x \\[0.5em]
\arccot x &= \frac{\pi}{2} - \arctan x \\[0.5em]
\arccsc x &= \frac{\pi}{2} - \arcsec x
\end{align}</math>

Բացասական արգումենտներ.
:<math>\begin{align}
\arcsin (-x) &= -\arcsin x \\
\arccos (-x) &= \pi -\arccos x \\
\arctan (-x) &= -\arctan x \\
\arccot (-x) &= \pi -\arccot x \\
\arcsec (-x) &= \pi -\arcsec x \\
\arccsc (-x) &= -\arccsc x
\end{align}</math>

Դրական արգումենտներ.
:<math>\begin{align}
\arccos (1/x) &= \arcsec x \\[0.3em]
\arcsin (1/x) &= \arccsc x \\[0.3em]
\arctan (1/x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan x = \arccot x \, , \text{if} x > 0 \\[0.3em]
\arctan (1/x) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arccot x - \pi \, , \text{ if} x < 0 \\[0.3em]
\arccot (1/x) &= \frac{\pi}{2} - \arccot x = \arctan x \, , \text{ if} x > 0 \\[0.3em]
\arccot (1/x) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x \, , \text{ if} x < 0 \\[0.3em]
\arcsec (1/x) &= \arccos x \\[0.3em]
\arccsc (1/x) &= \arcsin x
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\arccos x &= \arcsin \sqrt{1 - x^2} \, , \text{ if} 0 \leq x \leq 1 \\
\arctan x &= \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\arcsin x &= 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \\[0.5em]
\arccos x &= 2 \arctan \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x} \, , \text{ if} -1 < x \leq + 1 \\[0.5em]
\arctan x &= 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}
\end{align}</math>
=== Արկտանգենսի գումարման բանաձև ===
:<math>\arctan u + \arctan v = \arctan \left( \frac{u+v}{1-uv} \right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, </math>
Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.
:<math>\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \, , </math>
:<math>\alpha = \arctan u \, , \quad \beta = \arctan v \, :</math>

== arcsin ֆունկցիան ==
[[Պատկեր:Arcsin.png|thumb|<math>y = \arcsin x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը]]
'''Արկսինուս''' ''m'' թվից կոչվում է այն ''x'' անկյունը՝ արտահայտված [[Ռադիան (չափման միավոր)|ռադիան]]ներով, որի համար <math>\sin x = m, \, -\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \, |m|\leqslant 1:</math>

<math>y=\sin x</math> ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։ <math>y=\arcsin x</math> ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* <math>\sin (\arcsin x) = x\qquad</math>, <math>-1 \leqslant x \leqslant 1</math> միջակայքում, 
* <math>\arcsin(\sin y) = y\qquad</math>, <math>-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}</math> միջակայքում, 
* <math>D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad</math> (որոշման տիրույթ), 
* <math>E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad</math> (փոփոխման տիրույթ)։
=== arcsin ֆունկցիայի հատկություններ ===
* <math>\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad</math> (ֆունկցիան կենտ է).
* <math>\arcsin x>0 \, </math>, <math>0 < x \leqslant 1</math>.
* <math>\arcsin x = 0\, </math>, <math>x=0.</math>
* <math>\arcsin x < 0\, </math>, <math>-1 \leqslant x < 0.</math>
* <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2}, \qquad -1 \leqslant x < 0 
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math>
* <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad 0 < x \leqslant 1 
\\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi, \qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.</math>
=== arcsin ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է <math>y=\sin x</math> ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է [[Մոնոտոն ֆունկցիա|մոնոտոն]], բայց դրա հակադարձ <math>y= \arcsin x</math> ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math>: <math>y=\sin x</math> ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math> միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է <math>y=\arcsin x</math> ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է <math>y=\sin x</math> ուղղի նկատմամբ՝ <math>\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]</math> միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային <math>Oxy</math> հարթության առաջին և երրորդ քառորդների [[կիսորդ]]ը)

== arccos ֆունկցիան ==
[[Պատկեր:Arccos function.png|thumb|<math>y=\arccos x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը]]
'''Արկոսինուս''' ''m'' թվից կոչվում է այն ''x'' անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար <math>\cos x = m, \qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1:</math>

<math>y=\cos x</math> ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ <math>y=\arccos x</math> ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

* <math>\cos (\arccos x)=x</math>, <math>-1 \leqslant x \leqslant 1, </math>
* <math>\arccos (\cos y) = y</math>, <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
* <math>D(\arccos x)=[-1; 1], </math> (որոշման տիրույթ), 
* <math>E(\arccos x)=[0; \pi].</math> (փոփոխման տիրույթ)։

=== arccos ֆունկցիայի հատկություններ ===
* <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos x\, </math> (ֆունկցիան համաչափ է [[Կոորդինատային համակարգ|կոորդինատային հարթության]] <math>\left (0; \frac{\pi}{2}\right)</math> կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
* <math>\arccos x > 0\, </math>, <math>-1 \leqslant x < 1.</math>
* <math>\arccos x = 0\, </math>, <math>x=1.\, </math>
* <math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.</math>
* <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2}, \qquad -1 \leqslant x < 0 
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad 0 < x \leqslant 1 
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.</math>
* <math>\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2} </math>
* <math>\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2} </math>
* <math>\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x} </math>
=== arccos ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է <math>y=\cos x</math> ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ <math>y=\arccos x</math> ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ <math>[0; \pi]</math>: <math>y=\cos x</math> միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ <math>[0; \pi]</math> միջակայքում <math>y = \arccos x</math> ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը <math>y=x</math> ուղղի նկատմամբ համաչափ է <math>y=\cos x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝ <math>[0; \pi]</math> միջակայքում։

== arctg ֆունկցիան ==
[[Պատկեր:Arctangent.svg|thumb|500px|<math>y=\operatorname{arctg}\, x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը]]
'''Արկտանգենս''' ''m'' թվից կոչվում է այն <math>\alpha</math> անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար <math>\operatorname{tg}\, \alpha = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}:</math>

<math>y=\operatorname{arctg} x</math> ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։ <math>y=\operatorname{arctg} x</math> ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

* <math>\operatorname{tg}\, (\operatorname{arctg}\, x)=x</math>, <math>x \in \mathbb R, </math>
* <math>\operatorname{arctg}\, (\operatorname{tg}\, y)=y</math>, <math>-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}, </math>
* <math>D(\operatorname{arctg}\, x) = (-\infty; \infty), </math>
* <math>E(\operatorname{arctg}\, x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math>

=== arctg ֆունկցիայի հատկություններ ===
* <math>\operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad</math>
* <math> \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} </math>
* <math> \operatorname{arctg} x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} </math>, x > 0
* <math> \operatorname{arctg} x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} </math>

=== arctg ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ <math>y=\operatorname{arctg}\ x</math> ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right):</math> Այդ միջակայքի վրա <math>y=\operatorname{tg}\ x</math> ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> միջակայքի վրա այն համարվում է <math>y=\operatorname{arctg}\ x</math> ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է <math>y=x</math> ուղղի նկատմամբ՝ <math>\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> հատվածում։

== arcctg ֆունկցիան ==
[[Պատկեր:Arccotangent.svg|500px|thumb|<math>y = \operatorname{arcctg} x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկը]]
'''Արկկոտանգենս''' ''m'' թվից կոչվում է այն ''x'' անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար <math>\operatorname{ctg}\, x = m, \qquad 0 < x < \pi:</math>

<math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։ <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> Ֆունկցիան համարվում է խիստ [[Նվազող ֆունկցիաներ|նվազող]]։

* <math>\operatorname{ctg}\, (\operatorname{arcctg}\, x) = x</math>, <math>x \in \mathbb R, </math>
* <math>\operatorname{arcctg}\, (\operatorname{ctg}\, y) = y</math>, <math>0<y<\pi, </math>
* <math>D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty), </math>
* <math>E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi):</math>
=== arcctg ֆունկցիայի հատկություններ ===

* <math>\operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x</math> (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right)</math> կետի նկատմամբ)։
* <math>\operatorname{arcctg}\, x > 0</math> ցանկացած <math>x</math>-ի համար։
* <math>\operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x < 0\end{matrix}\right.</math>
* <math>\operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x:</math>
=== arcctg ֆունկցիայի ստացում ===
Տրված է <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ <math>(0; \pi)</math>: Այս միջակայքում <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի <math>(0; \pi)</math> միջակայքում համարվում է <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը <math>y=x</math> ուղղի նկատմամաբ համաչափ է <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> ֆունկցիայի գրաֆիկին՝ <math>(0; \pi)</math> միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս [[օրդինատ]]ների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. <math>x \rightarrow -x</math>) և բարձրացնելով վերև {{math|π/2}} միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝ <math>\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2:</math>

== arcsec ֆունկցիան ==
<math>\mathop{\operatorname{arcsec}}\, (x)\, = \operatorname{arccos} \left( \frac{1}{x}\right)\, </math>

== arccosec ֆունկցիան ==
<math>\mathop{\operatorname{arccosec}}\, (y)\, = \operatorname{arcsin} \left( \frac{1}{y}\right)\, </math>

== Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ ==
<math>(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math><br />
<math>(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math><br />
<math>(\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\ 1+x^2}</math><br />
<math>(\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\ 1+x^2}</math>

== Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ ==
=== Անորոշ ինտեգրալներ ===
[[Իրական թվեր|Իրական]] և [[Կոմպլեքս թիվ|կոմպլեքս]] ''x''-երի համար.
: <math>
\begin{align}
\int \arcsin x\, dx &{}= x\, \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \\
\int \arccos x\, dx &{}= x\, \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \\
\int \operatorname{arctg}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arctg}\, x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C, \\

\int \operatorname{arcctg}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C, \\
\int \arcsec x\, dx &{}= x\, \arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\, \right)\!\right) + C, \\
\int \operatorname{arccosec}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\, \right)\!\right) + C:
\end{align}</math>

Իրական թվերի համար՝ ''x'' ≥ 1:
: <math>
\begin{align}
\int \arcsec x\, dx &{}= x\, \arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C, \\
\int \operatorname{arccosec}\, x\, dx &{}= x\, \operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C:
\end{align}</math>

== Կիրառությունը երկրաչափության մեջ ==
[[Պատկեր:Triángulo-en-círculo.svg|thumb|right|300px|''ABC'' [[ուղղանկյուն եռանկյուն]]]]
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են [[Եռանկյուն|եռանկյան]] անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ [[կոսինուսների թեորեմ]]ի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

: ''α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)''

== Կապը բնական լոգարիթմների հետ ==
: <math>
\begin{align}
\arcsin z & {}= -i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}), 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\arccos z & {}= \dfrac{\pi}{2} + i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}), 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\operatorname{arctg}\, z & {}= \dfrac{i}{2} ( \ln(1-iz)-\ln(1+iz) ), 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\operatorname{arcctg}\, z & {}= \dfrac{i}{2} \left( \ln \left( \dfrac{z-i}{z} \right)-\ln \left( \dfrac{z+i}{z} \right) \right), 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right), 
\end{align}
</math>

: <math>
\begin{align}
\operatorname{arccosec}\, z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) = - i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right).
\end{align}
</math>

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}
== Արտաքին հղումներ ==
* Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
* {{ռուսերեն գիրք |автор= |часть= Обратные тригонометрические функции|ссылка часть= http://yunc.org/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95_%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%93%D0%9E%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%98%D0%95_%D0%A4%D0%A3%D0%9D%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98|заглавие= Энциклопедический словарь юного математика|оригинал= |ссылка= https://ru.wikipedia.org/wiki/Энциклопедический_словарь_(Педагогика)|викитека= |ответственный= Савин А.П|издание= |место= М.|издательство= Педагогика|год= 1985|том= |страницы= 220–221|столбцы= |страниц= 352|серия= |isbn= |тираж= |ref= Энциклопедический словарь}}
* [http://yotx.ru Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн]
* [http://www.planetcalc.ru/326/ Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции]
== Տես նաև ==
* [[Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ]]
* [[Եռանկյունաչափության պատմություն]]

[[Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն]]
[[Կատեգորիա:Տարրական ֆունկցիաներ]]
Այս էջում օգտագործված կաղապարները.
Վերադարձ դեպի Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/wiki/Հակադարձ_եռանկյունաչափական_ֆունկցիաներ» էջից