Երկվորյակներ (մաթեմատիկա)

Վիգգո Բուրանը 1919 թվականին ապացուցեց, որ ${\displaystyle \pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2}}}}$  և այս շարքը փոխդարձաբար համընկնում են՝

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots }$ 

Դա նշանակում է, որ եթե հասարակ երկվորյակները անսահմանափակ շատ են, ապա նրանք բոլորը գտնվում են բնական հաջորդականությամբ բավականին հազվադեպ։

Նշանակությունը ${\displaystyle B_{2}\approx 1.902160583104}$  անվանում են Բուրանի հաստատուն պարզ երկվորյակների դեպքում։

Հետագայում ապացուցվեց նույն շարքերի համընկնումները ընդհանրացված պարզ երկվորյակների համար։ Ենթադրվում է, որ այդպիսի շարքերը անսահման շատ են, բայց դեռ ապացուցված չեն։ Ըստ Հարդի Լիտտլվուդաի տեսության, մեծաքանակ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$  զույգ պարզ երկվորյակները չեն գերազանցում x-ը, դրանք ասիմետրիկորեն մոտենում են՝

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}}}$ 

որտեղ ${\displaystyle C_{2}}$  պարզ երկվորյակների հաստատունն է։

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots }$ 

• Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah։ Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release" of 58711-digit twin prime record.
• The 20 000 first twin primes
• Polymath: Bounded gaps between primes
• Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing