Գծային արտապատկերում

${\displaystyle V}$  վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը ${\displaystyle K}$  դաշտի վրա ${\displaystyle W}$  վեկտորային տարածությունում նույն ${\displaystyle K}$  դաշտի համար (գծային օպերատոր ${\displaystyle V}$ -ից ${\displaystyle W}$ ) կոչվում է արտապատկերում՝

${\displaystyle f\colon V\to W}$ ,

որը բավարարում է գծային պայմանին^[2]՝

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ ,

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$ .

ցանկացած ${\displaystyle x,y\in V}$  և ${\displaystyle \alpha \in K}$ ։

Եթե ${\displaystyle V}$  և ${\displaystyle W}$  միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա ${\displaystyle f}$ -ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Եթե ${\displaystyle K}$  հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

• ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V}$ 
• ${\displaystyle (kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K}$ 

ապա ${\displaystyle V}$ -ից ${\displaystyle W}$  բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ -ով։

Եթե ${\displaystyle V}$  և ${\displaystyle W}$  վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի ${\displaystyle N}$  թիվ այնպիսի, որ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V}}$ : Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ ${\displaystyle N}$  հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա․ ${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|\not =0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}:}$ 

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե ${\displaystyle W}$  տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

${\displaystyle A^{-1}}$  օպերատորը կոչվում է հակադարձ ${\displaystyle A}$  գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․ ${\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=1}$ ։

${\displaystyle A^{-1}}$  օպերատորը, որը հակադարձ է ${\displaystyle A}$  գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե ${\displaystyle A}$  -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ ${\displaystyle F}$ -տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերման – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$  բազիսը։ Դիցուք ${\displaystyle \mathbf {x} }$ -ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\mathbf {e} _{k}}$ ,

որտեղ ${\displaystyle x^{k}}$ -ն ${\displaystyle \mathbf {x} }$  վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։ Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։ Դիցուք ${\displaystyle \mathbf {A} }$ -ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

${\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}\mathbf {Ae} _{k}}$ ։

${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}$  վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}=a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ,

որտեղ ${\displaystyle a_{k}^{j}}$ -ն ${\displaystyle \mathbf {Ae} _{k}}$ -ի ${\displaystyle k}$ -րդ վեկտորի ${\displaystyle j}$ -րդ կոորդինատը է։ Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

${\displaystyle \mathbf {Ax} =x^{k}a_{k}^{j}\mathbf {e} _{j}=(a_{k}^{j}x^{k})\mathbf {e} _{j}}$ ։

${\displaystyle a_{k}^{j}x^{k}}$  արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, ${\displaystyle a_{k}^{j}}$  մատրիցը ${\displaystyle x^{k}}$  սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի ${\displaystyle \mathbf {Ax} }$  վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է ${\displaystyle \mathbf {x} }$  վեկտորի վրա ${\displaystyle \mathbf {A} }$  օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

  Մեկնաբանություն՝ Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$  բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,}$ 

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռակողմի։ Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$  ու ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$  վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։ Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R² գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։

• Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար ${\displaystyle W=K}$ :
      ${\displaystyle f\colon V\to K}$ ։
• Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար ${\displaystyle V=W}$ (օպերատոր)։
      ${\displaystyle f\colon V\to V}$ ։
• Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)— ${\displaystyle x\mapsto x}$  օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
• Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է ${\displaystyle V}$ -ի յուրաքանչյուր էլեմենտ ${\displaystyle W}$ -ի զրոյական էլեմենտի։
• Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր ${\displaystyle x}$ -ին իր պրոյեկցիայի հետ։
• Համակցված արտապատկերում ${\displaystyle A\in L(V)}$  արտապատկերմանը — ${\displaystyle A^{*}}$ -ն ${\displaystyle V^{*}}$ -ի վրա արտապատկերում, տրված ${\displaystyle A^{*}f(x):=f(Ax)}$  հարաբերակցությամբ։
• Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
• Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի ${\displaystyle A}$  օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ ${\displaystyle A}$  որոշման տիրույթի բոլոր ${\displaystyle x,y}$  զույգերի համար ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ ։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
• Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է ${\displaystyle (Ax,Ay)=(x,y)}$  սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած ${\displaystyle \|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|}$  վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}}$  համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։

• Գծային արտապատկերման ${\displaystyle f\colon V\to W}$  միջուկ է կոչվում ${\displaystyle V}$  ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։

${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}}$ 

Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային ${\displaystyle V}$  տարածությունում։

• ${\displaystyle f}$  գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ ${\displaystyle W}$  ենթաբազմությունը՝

  ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}}$ 

  Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն ${\displaystyle W}$  գծային տարածությունում։

• ${\displaystyle M\subset V}$ ^[3] ենթաբազմության պատկեր ${\displaystyle A}$  գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է ${\displaystyle AM=\{Ax:x\in M\}}$  բազմությունը։
• ${\displaystyle V}$  և ${\displaystyle W}$  գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը ${\displaystyle f\colon V\times U\to W}$  գծային ${\displaystyle U}$  տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։ ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$  մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
• ${\displaystyle {\tilde {L}}}$  օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝

  ${\displaystyle {\tilde {L}}=L+v}$ 

որտեղ ${\displaystyle L}$  գծային օպերատոր է, իսկ ${\displaystyle v}$ -ն՝ վեկտոր։

• Դիցուկ ${\displaystyle A:V\to V}$ ։ ${\displaystyle M\subset V}$  ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե ${\displaystyle \forall x\in M,Ax\in M}$ ^[4]

Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ ${\displaystyle M\subset X}$ -ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ ${\displaystyle X}$  տրոհվում է ${\displaystyle X=M\oplus N}$  ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում ${\displaystyle M}$  ինվարիանտ է ${\displaystyle A}$  գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle P_{M}AP_{M}=AP_{M}}$ , որտեղ ${\displaystyle P_{M}}$ -ը պրոյեկտոր ${\displaystyle M}$  ենթատարածության վրա։

• Ֆակտոր-օպերատորներ^[5]։ Դիցուկ ${\displaystyle A:V\to V}$ -ը գծային օպերատոր է և դիցուկ ${\displaystyle M}$ -ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն ${\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}$  ըստ ${\displaystyle M}$  ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է ${\displaystyle A^{+}}$  օպերատորը, որը կիրառվում է ${\displaystyle V/\,{\overset {M}{\sim }}}$ -ի վրա ${\displaystyle \forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim }},A^{+}x^{+}=[Ax]}$  կանոնով, որտեղ ${\displaystyle [Ax]}$ -ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է ${\displaystyle Ax}$ -ը։
• Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

• դիֆերենցացման օպերատոր՝ ${\displaystyle L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}$ ;
• ինտեգրման օպերատոր՝ ${\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau }$ ;
• որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ ${\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)}$ ;
• տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ ${\displaystyle \varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau }$ ;
• ${\displaystyle x_{0}}$  կետում ${\displaystyle f}$  ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝ ${\displaystyle L\{f\}=f(x_{0})}$ ^[6];
• վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ ${\displaystyle b=Ax}$ ;
• վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

• ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
• ${\displaystyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)}$ ;
• ${\displaystyle y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi (t)}$ ;
• ${\displaystyle y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)}$ ;

որտեղ ${\displaystyle \varphi (t)}$ , ${\displaystyle \varphi _{1}(t)}$  և ${\displaystyle \varphi _{2}(t)}$ -ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ ${\displaystyle x(t)}$ -ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։