Արքիմեդի աքսիոմ

Արքիմեդի աքսիոմը իրականում առաջին անգամ ձևակերպել է Եվդոքսոս Քնիդոսցին։ Այդ սահմանումը կարևոր դեր է ունեցել հարաբերությունների տեսությունում, որը, ըստ էության, հանդիսանում էր իրական թվի մասին առաջին աքսիոմատիկական տեսությունը։ Այդ պատճառով այն անվանում են նաև Եվդոքսոսի աքսիոմ^[2]։ Այն մեզ է հասել Էվկլիդեսի աշխատությունների շնորհիվ («Հիմունք» գիրք V)։

Ասում են, թվերը իրար հետ առնչություն ունեն, եթե նրանցից մեկի բազմապատիկը մեծ է մյուսից^[3]։

Դիցուք՝ ${\displaystyle G}$ գծային կանոնավորված խումբ է, ${\displaystyle a}$  և ${\displaystyle b}$  ՝ ${\displaystyle G}$ -ի դրական տարրերն են։ ${\displaystyle a}$ տարրը կոչվում է անվերջ փոքր ${\displaystyle b}$  տարրի նկատմամբ, եթե ցանկացած բնական ${\displaystyle n}$ -ի համար տեղի ունի հետրյալ անհավասարությունը․

Արքիմեդյան խումբ

${\displaystyle G}$  խումբը կոչվոմ է արքիմեդյան, եթե նրա համար տեղի ունի Արքիմեդի աքսիոմը՝ ${\displaystyle G}$ -ում գույություն չունեն ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$  տարրերը, անյպիսիք, որ ${\displaystyle a}$ -ն անվերջ փոքր է ${\displaystyle b}$ -ի նկատմամբ։

Դիցուք՝ ${\displaystyle K}$ կարգավորված դաշտ է։ Քանի որ, յուրաքանչյուր կանոնավորված դաշտ գծային կարգավորված խումբ է,ապա անվերջ փոքր և անվերջ մեծ տարրերի բոլոր վերը նշված սահմանումները, ինչպես նաև Արքիմեդի աքսիոմի ձևակերպումը մնում է վավեր։ Այնուամենայնիվ, կան մի շարք առանձնահատկություններ, որոնց շնորհիվ Արքիմեդի աքսիոմայի ձևակերպումը դառնում է ավելի պարզ։

Դիցուք՝ ${\displaystyle a,b}$  -ն ${\displaystyle K}$ -ի դրական տարրեր են.

• ${\displaystyle a}$  տարրը անվերջ փոքր է ${\displaystyle b}$ -ի նկատմամբ, միայն ու միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a/b}$  անվերջ փոքր ${\displaystyle 1\in K}$ -ի նկատմամբ (այդպիսի տարրերը կոչվում են անվերջ փոքր)
• ${\displaystyle a}$  տարրը անվերջ մեծ է ${\displaystyle b}$  տարրի նկաատմամբ, միայն ու միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a/b}$ անվերջ մեծ է ${\displaystyle 1\in K}$ -ի նկատմամբ (այդպիսի տարրերը կոչվում են անվերջ մեծ)

Անվերջ փոքր և անվերջ մեծ տարրերը կոչվում են ինֆինիթեզիմալ տարրեր։

Հետևաբար, Արքիմեդի աքսիոմի ձևակերպումը պարզեցված է։ Կանոնավորված ${\displaystyle K}$ դաշտը ունի Արքիմեդի հատկությունները, եթե այն անվերջ փոքր տարրեր չունի, կամ, եթե այն անվերջ մեծ տարրեր չունի։ Ընդլայնելով անվերջ փոքր (կամ անվերջ մեծ) տարրերի սահմանումը, կստացվիԱրքիմեդի աքսիոմի հետևյալ ձևակերպումը.

Ցանկացած ${\displaystyle K}$ դաշտի ${\displaystyle a}$ տարրի համար գոյություն ունի ${\displaystyle n}$ բնական տարրը, այնպիսին, որ ${\displaystyle n>a}$ ։

Արքիմեդյան դաշտի ամենահայտնի օրինակն իրական թվերի բազմությունն է։ Եթե դիտարկենք իրական թվերի բազմությունը, որպես լրացում ռացիոնալ թվերի խմբին, ապա Արքիմեդի հատկությունը իրական թվերի համար ետևում է նրանից, որ ռացիոնալ թվերը տիրապետում են այդ հատկությունները։ Այս առումով, պետք է նշել, որ իրական թվերի աքսիոմաների համակարքերից մեկում, որը առաջարկվել էր Հիլբերտի^[4] կողմից (Հիլբերտի աքսիոմաները), իրական թվերի համախումբը սահմանվում է որպես արքիմեդյան առավելագույն կարգավորված դաշտ, այսինքն, կարգավորված դաշտ, որը բավարարում է Արքիմեդի աքսիոմին (այսինքն, որը պարունակում է ինֆինիթեզիմալ տարրեր), որոնք չեն կարող ընդարձավկել մինչև Արքիմեդյան կարգավորված դաշտը։

Ոչ արքիմեդյան կանոնավորված դաշտ

Որպես օրինակ (կամ ավելի ճիշտ, հակաօրինակ), կանոնավորված դաշտի համար, որի համար Արքիմեդի աքսիոմը չի կատարվում, դիտարկենք իրական գործակիցներով ռացիոնալ ֆունկցիաների շարք , որոնք ունեն հոտևյալ տեսքը․

Սովորոկան գումարման և բազմապատկման գործողությունների նկատմամբ ,այս համախումբը առաջացնում է դաշտ։

Դիցուք՝ ${\displaystyle f}$  և ${\displaystyle g}$  երկու ռացիոնալ ֆունկցիաներ են, ապա կասենք, որ ${\displaystyle f>g}$  միայն ու միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle +\infty }$ որոշ տարածությունում ${\displaystyle f-g}$  տարբերությունը ունի միայն դրական արժեք․

որտեղ աջ կողմի վերջին գումարելին կանոնավոր ռացիոնալ մասն է, այսինքն, համարիչի աստիճանը պակաս է հայտարարի աստիճանից՝ ${\displaystyle k<m}$ . Մենք նաև ենթադրում ենք, որ հայտարարի ${\displaystyle b_{m}}$  գործակիցը ${\displaystyle 1}$  է։ Այնուհետև ${\displaystyle f>g}$  միայն ու միայն այն դեպքում, երբ կամ ${\displaystyle c_{n-m}>0}$  կամ ${\displaystyle d_{k}>0}$  և պոլինոմիական մասը բացակայում է։ Դժվար չէ ստուգել կարգի սահմանման ճշգրտությունը (այն պետք է ստուգվի, քանի որ ներմուծված հարաբերությունն իսկապես հանդիսանում է կարգի հարաբերություն, և որ այդ հարաբերությունը համապատասխանեցված է դաշտի գործողություններին)։

Այսպիսով, ռացիոնալ գործառույթների հավաքածուն կազմում է կանոնավորված դաշտ։ Նշենք, որ դա իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է, սակայն այն Արքիմեդի աքսիոմը այստեղ տեղի չունի (տես նախորդ բաժնի վերջը)։ Իրոք, դիտարկենք ${\displaystyle 1}$  և ${\displaystyle x}$ տարրերը։ Ակնհայտ է, որ ինչպիսին էլ լինի ${\displaystyle n}$  բնական թիվը, տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը․

Այսինքն՝ ${\displaystyle x}$  -ը անվերջ մեծ տարր է, այդ իսկ պատճառով Արքիմեդի աքսիոմը տեղի չունի։

• История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: «Наука», 2003. — Т. 1.
• Евклид Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
• Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948.
• Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.