A kígyó-lemma egy matematikai, azon belül homologikus algebrai lemma, aminek segítségével hosszú egzakt sorozatokat lehet konstruálni. A lemma kulcsfontosságú szerepet tölt be a homologikus algebrában és annak alkalmazási területein, például az algebrai topológiában. A lemma konstrukciójában szereplő homomorfizmust gyakran határleképezés néven említik.

Állítás

szerkesztés

Legyen adott egy Abel-kategória – például az Abel-csoportok kategóriája vagy egy gyűrű feletti modulusok kategóriája –, és tekintsük ebben a következő kommutatív diagramot:

 

Itt 0 jelöli a kategória zéróobjektumát. A kígyó-lemma szerint ha a diagramban a sorok egzaktak, akkor létezik a következő egzakt sorozat:

 .

Itt az objektumok az a, b és c morfizmusok magjai illetve komagjai, és ∂ az úgynevezett határleképezés.

Továbbá ha f monomorfizmus, akkor   is mono, és ha g' epimorfizmus, akkor   is epi.

Etimológia

szerkesztés

A kígyó-lemma neve onnan származik, hogy a fenti hosszú egzakt sorozat beilleszthető az eredeti diagram köré:

 

Az itt d-vel jelölt határleképezés ilyetén berajzolásával a hosszú egzakt sorozat egy kanyargó kígyóra emlékeztet.

A hosszú egzakt sorozatban szereplő leképezések konstrukciója

szerkesztés

A magok illetve komagok közötti leképezéseket az eredeti diagram vízszintes leképezései indukálják természetes módon a diagram kommutatív voltából adódóan. Az egzaktság a és b magjánál, illetve b és c komagjánál egyszerűen adódik az eredeti diagram sorainak egzaktságából. A kígyó-lemma mélyebb állítása tehát a határleképezésre vonatkozik.

Valamely gyűrű feletti modulusok kategóriájában a határleképezés a következőképpen definiálható. Legyen adott  , azaz   úgy, hogy  . Ekkor g szürjektív voltából adódóan létezik olyan  , hogy  . A jobb oldali négyzet kommutatív, azaz  . A B'-nél való egzaktság és f' injektív volta miatt létezik egy egyértelmű  , hogy  . Definiáljuk  -et mint z képét  -ban.

Bár y választása nem kanonikus, könnyen ellenőrizhető, hogy z képe, azaz   független y választásától. Szintén könnyen látható, hogy az így definiált   leképezés lineáris.

Mitchell beágyazási tétele szerint bármely Abel-kategória beágyazható valamely gyűrű feletti modulusok kategóriájába. Ez a beágyazás lehetővé teszi a fenti konstrukciót egy tetszőleges Abel-kategóriában.

Bizonyítás

szerkesztés

A bizonyítás szerepel az It’s My Turn című filmben, Jill Clayburgh előadásában. Sőt, Charles Weibel Introduction to Homological Algebra című könyvében nem is szerepel a bizonyítás, ehelyett Weibel maga is a filmre hivatkozik – illetve arra biztatja az olvasót, hogy találja ki a bizonyítást maga.

A csoportok kategóriájában

szerkesztés

A homologikus algebra számos állítása – például az 5-lemma – az Abel-kategóriák mellett a csoportok kategóriájában is igaz. Ez a kígyó-lemma esetében nincs így: valóban, a csoportok kategóriájában nem léteznek tetszőleges komagok. A komagok ugyanakkor helyettesíthetők az  ,  ,   mellékosztályokkal, és ez lehetővé teszi a határleképezést konstrukcióját. Az így létrejövő hosszú sorozat nem feltétlenül lesz egzakt (viszont mindig lánckomplexus lesz). Ha viszont azzal az erősebb feltevéssel élünk, hogy a komagok léteznek – azaz az a, b, c csoporthomomorfizmusok képei normálosztók –, akkor valóban hosszú egzakt sorozatot kapunk.

Ellenpélda

szerkesztés

Tekintsük az   alternáló csoportot. Ennek van egy az   szimmetrikus csoporttal izomorf részcsoportja, amiben pedig a   ciklikus csoport normálosztó. Így előáll a következő kommutatív diagram:

 

A diagram sorai egzaktak. (A zéróobjektumot itt multiplikatív jelölésben 1 jelöli.) Látható ugyanakkor, hogy a középső oszlop nem egzakt: az   szemidirekt szorzatban   nem normálosztó.[1]

Mivel   egyszerű csoport, a jobb oldali függőleges nyíl komagja szükségszerűen triviális. Ugyanakkor a   faktorcsoport izomorf a   ciklikus csoporttal. A kígyó-lemmában szereplő hosszú sorozat ebben az esetben tehát a következő lesz:

 

Mivel   nem a triviális csoport, a sorozat nem egzakt.

  1. Extensions of C2 by C3. GroupNames. (Hozzáférés: 2021. november 6.)

Fordítás

szerkesztés
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Snake lemma című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Schlangenlemma című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.