Bohr-féle atommodell

A Rutherford-féle atommodellben a negatív töltésű elektronok a pozitívan töltött atommag körüli körpályán keringenek. A klasszikus fizika törvényei szerint a centripetális erőt a pozitív és negatív töltés közötti vonzó erő, a Coulomb-erő szolgáltatja. A Bohr-féle atommodell posztulátumai ezen túlmenően:^[3]

I. Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú körpályákon keringhetnek. Ezeken a pályákon az elektronok nem sugároznak, energiájuk állandó, ezért a pályák állandósult, ún. stacionárius pályák.

II. A stacionárius állapotok között átmenetek jöhetnek létre. Ekkor az elektron egyik stacionárius pályáról egy másikra kerül, miközben a két pálya közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont az atom kibocsátja, vagy elnyeli. Az atom által emittált, vagy abszorbeált foton ${\displaystyle f}$  frekvenciáját az energiafeltétel határozza meg:

${\displaystyle \Delta {E}=E_{2}-E_{1}=h\cdot f}$ .

III. A stacionárius pályák sugarát az elektron pályaperdületének (impulzusmomentumának) a kvantálási szabálya határozza meg. Eszerint az atommag körül ${\displaystyle r}$  sugarú pályán ${\displaystyle v}$  sebességgel keringő ${\displaystyle m_{e}}$  tömegű elektron ${\displaystyle L}$  impulzusmomentuma a legkisebb ${\displaystyle \hbar }$  perdület egész számú többszöröse kell legyen:

${\displaystyle L=m_{e}\cdot r\cdot v=n\cdot {\frac {h}{2\pi }}=n\cdot \hbar }$ ,

ahol ${\displaystyle n=1,2,3...}$  kvantumszám, ${\displaystyle h}$  a Planck-állandó (hatáskvantum), ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$  pedig a redukált Planck-állandó.

A III. posztulátumban szereplő n értéket főkvantumszámnak nevezzük.^[4]

A Bohr-modell az atom energiaszintjeire jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a hidrogén vagy az ionizált hélium.^[5]

A modell abból indul ki, hogy az ${\displaystyle m_{e}}$  tömegű, ${\displaystyle e}$  elemi töltésű elektront ${\displaystyle r}$  sugarú körpályán ${\displaystyle v}$  sebességgel mozgató centripetális erő egyenlő a ${\displaystyle Z}$  számú proton és az egy elektron közötti Coulomb-erővel:

${\displaystyle {\frac {m_{e}v^{2}}{r}}=k\cdot {\frac {Z\cdot e^{2}}{r^{2}}}}$ 

ahol ${\displaystyle k}$  a Coulomb-állandó, és ${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ , ahol ${\displaystyle \epsilon _{0}}$  a vákuum permittivitása.

A harmadik posztulátum szerint pedig az elektron mozgásához tartozó impulzusmomentum:

${\displaystyle m_{e}\cdot r\cdot v=n\cdot \hbar }$ 

A két egyenletből kifejezhető az ${\displaystyle n}$  kvantumszámhoz tartozó sugár és sebesség:

${\displaystyle r_{n}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}{m_{e}\cdot Z\cdot e^{2}}}\cdot n^{2}={\frac {a_{0}}{Z}}\cdot n^{2}}$ 

${\displaystyle v_{n}={\frac {Z\cdot e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n}}}$ .

Az ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\cdot \hbar ^{2}}{m_{e}\cdot e^{2}}}}$  az ${\displaystyle n=1}$  kvantumszámhoz tartozó legkisebb energiájú körpálya sugara, az ún. Bohr-sugár. Értéke: ${\displaystyle a_{0}=52,9177\,{\mbox{pm}}}$ .

A nyugvónak tekinthető atommag körül keringő elektron teljes energiája az elektrosztatikus vonzáshoz tartozó potenciális energia és a mozgási (kinetikai) energia összege:

${\displaystyle E=E_{pot}+E_{kin}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{r_{n}}}+{\frac {1}{2}}m_{e}{v_{n}}^{2}}$ 

A sebesség fenti kifejezését behelyettesítve belátható, hogy a potenciális energia abszolút értéke kétszer annyi, mint a mozgási energia:

${\displaystyle E_{kin}={\frac {1}{2}}m_{e}{v_{n}}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{r_{n}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left|E_{pot}\right|}$ 

A teljes energia tehát negatív és fordítottan arányos a pálya sugarával:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Ze^{2}}{2r_{n}}}}$ 

A maghoz közelebbi pályákhoz tartozó energia negatívabb. Ha az elektron energiája nő, akkor távolodik a magtól. A pálya sugarát behelyettesítve, az ${\displaystyle n}$  kvantumszámhoz tartozó állapotban a teljes energia:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\cdot Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}}$ , ahol ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ 

Az elektronpályákhoz tartozó diszkrét energiaértékek tehát egy sorozatot alkotnak, és az elemek ${\displaystyle -{\frac {1}{n^{2}}}}$ -tel arányosak.

A fizikai állandók értékeit behelyettesítve:

${\displaystyle E_{n}=(-13{,}6\ \mathrm {eV} ){\frac {1}{n^{2}}}\,}$

Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje −13,6 eV, a második −3,4 eV, a harmadik −1,5 eV és így tovább. Tehát, az alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.

A Johannes Rydberg svéd fizikus által 1888-ban megadott Rydberg-formula kísérleti megfigyelésekből származott. A formula a Bohr-modellből levezethető, és a Rydberg-állandóra is jó értéket ad.

A Bohr-modell szerint, ha az elektron egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra kerül, az atom a két energiaszint közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont bocsát ki. Az energiaszinteket leíró fenti összefüggés alapján a különbség:

${\displaystyle E=E_{i}-E_{k}={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,}$ 

ahol ${\displaystyle i}$  jelöli a magasabb energiaszintet, ${\displaystyle k}$  pedig az alacsonyabbat.

A fotonhipotézis alapján a foton energiája:

${\displaystyle E=h\cdot f=h\cdot {\frac {c}{\lambda }}\,}$ ,

ahol ${\displaystyle f}$  a foton frekvenciája, ${\displaystyle c}$  és ${\displaystyle \lambda }$  a fény sebessége és hullámhossza.

Tehát:

${\displaystyle {\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)=h\cdot {\frac {c}{\lambda }}}$ .

Miközben az elektron az ${\displaystyle n_{i}}$  kvantumszámú energiaszintről az ${\displaystyle n_{k}}$  szintre kerül az atom egy ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$  hullámszámú fotont bocsát ki:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}ch}}\left({\frac {1}{n_{k}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)}$ .

Ez az ún. Rydberg-formula, amelyben az arányossági tényező a Rydberg-állandó: ${\displaystyle R={\frac {m_{e}Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}ch}}}$ .

A modell helytállóságának döntő bizonyítékává a Franck–Hertz-kísérlet vált. Kidolgozóit, James Franckot és Gustav Ludwig Hertzet 1925-ben fizikai Nobel-díjjal jutalmazták.

Bohr modelljét két év múlva, a színképvonalak finomszerkezetét figyelembe véve pontosította Arnold Sommerfeld. A pontosított modellben az elektronok immár ellipszis alakú pályákon is mozoghatnak.

• Edwin F. Taylor - John A. Wheeler: Téridőfizika. Typotex Kiadó, 2006. ISBN 963-9548-86-3
• Magyarított Flash szimuláció a hidrogén Bohr-modelljéről. Szerző: David M. Harrison