Euklidski prostor

Neka je ${\displaystyle V}$  realni vektorski prostor i neka je ${\displaystyle \psi :V\times V\to \mathbb {R} }$  preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo ${\displaystyle v\cdot w}$  umjesto ${\displaystyle \psi (v,w)}$ ) za svaki ${\displaystyle u,v,w,\in V}$  i ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$  :

1. ${\displaystyle v\cdot w=w\cdot v;}$ 
2. ${\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w;}$ 
3. ${\displaystyle \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w=v\cdot (\alpha w);}$ 
4. ${\displaystyle w\cdot w>0{\mbox{ ako i samo ako je }}v\neq 0.}$ 

Tada se ${\displaystyle \psi }$  zove skalarni produkt na ${\displaystyle V}$ .

Ako na ${\displaystyle V}$  postoji skalarni produkt, onda se ${\displaystyle V}$  zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma ili duljina vektora ${\displaystyle w}$  je broj

${\displaystyle \|w\|={\sqrt {w\cdot w}}.}$ 

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutom ${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle v\cdot w=\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi ,}$ 

tj. kut ${\displaystyle \varphi }$  između vektora ${\displaystyle v,w\in V}$  definiran je s

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}\right).}$ 

Ako je ${\displaystyle v\cdot w=0}$ , očito je ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ , pa kažemo da su ${\displaystyle v}$  i ${\displaystyle w}$  okomiti ili ortogonalni vektori.

• skalarni produkt
• vektorsko polje
• vektorski prostor