רזולוציה חופשית

יהי ${\displaystyle M}$  מודול מעל חוג ${\displaystyle R}$ . רזולוציה חופשית היא סדרה מדויקת מהצורה ${\displaystyle \dots F_{n}\rightarrow \dots \rightarrow F_{1}\rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0}$ , שבה המודולים ${\displaystyle F_{i}}$  חופשיים. אם יש למודול רזולוציה סופית, האורך של הרזולוציה הקצרה ביותר (היינו, האינדקס האחרון ${\displaystyle n}$  שעבורו ${\displaystyle F_{n}\neq 0}$ ) הוא הממד ההומולוגי של ${\displaystyle M}$ . למשל, אם ${\displaystyle M}$  חופשי, הממד ההומולוגי שלו הוא אפס. משפט ה-Syzygy של הילברט (שאותו הוא הוכיח בהקשר של שמורות פולינומיות) קובע שלכל חוג מנה מדורג של חוג פולינומים ${\displaystyle A}$  יש ממד הומולוגי סופי. למעשה, הממד ההומולוגי של מנה ${\displaystyle B}$  מקיים ${\displaystyle \dim(A)-\dim(B)\leq hd_{A}(B)\leq \dim(A)}$ , עם שוויון באגף שמאל בדיוק כאשר ${\displaystyle B}$  הוא חוג כהן-מקולי.

רזולוציה שבה הדרגה של כל ${\displaystyle F_{i}}$  היא הנמוכה ביותר האפשרית (תחת האילוץ שכך התקיים עבור המרכיבים הקודמים), נקראת רזולוציה מינימלית. רזולוציה כזו היא יחידה, והדרגות של המודולים המשתתפים בה הם מספרי בטי (אנ') של המודול. תכונות נוספות של הרזולוציה מוליכות להגדרות של חוג גורנשטיין, חיתוך מלא ועל-משטח.

תחום שלמות נתרי בעל התכונה שלכל מודול נוצר סופית יש רזולוציה חופשית סופית, הוא תחום פריקות יחידה^[1].

• History of Homological Algebra, by Chuck Weibel; pp.797-836 in "The History of Topology", ed. I.M. James, Elsevier, 1999.

• שמורה פולינומית