Moment linéaire

Ne doit pas être confondu avec Quantité de mouvement.

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Le moment linéaire ou impulsion est, en mécanique analytique, le moment conjugué d'une variable d'espace linéaire (par opposition aux variables d'espace angulaires)^{[style à revoir]}. Cette notion, utilisée aussi en mécanique quantique, coïncide la plupart du temps avec celle de quantité de mouvement.

En mécanique analytique, le moment conjugué ${\displaystyle p_{i}}$ (aussi appelé impulsion généralisée) de la coordonnée généralisée ${\displaystyle q_{i}}$ est donné par la formule^[1] : $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}$$Ce moment conjugué est appelé moment linéaire (ou impulsion) lorsque les coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{i}}$ correspondent aux coordonnées cartésiennes.

En mécanique quantique, l'opérateur impulsion ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}}$ permet d'obtenir les valeurs possibles de l'impulsion d'une particule. Il se décompose en trois opérateurs : ${\displaystyle {\hat {P_{x}}}}$, ${\displaystyle {\hat {P_{y}}}}$, ${\displaystyle {\hat {P_{z}}}}$. Plus exactement, les valeurs possibles des composantes de l'impulsion sont données par les valeurs propres des opérateurs ${\displaystyle {\hat {P_{i}}}}$.

En représentation position, l'opérateur impulsion peut être mis sous la forme ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$ où ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ est l'opérateur gradient et ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite.

L'opérateur impulsion ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}}$ peut être défini de cette manière à partir de l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {\vec {R}}}}$ et des relations de commutation canoniques^[2] :

$${\displaystyle {\begin{cases}\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {P}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=0\\\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {R}}_{k}\right]=0\end{cases}}j,k=x,~y,~z}$$
Le principe de correspondance consiste à identifier les crochets de Poisson {q_j, p_k} = δ_jk en mécanique hamiltonienne aux commutateurs ${\displaystyle \left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}}$ en mécanique quantique.

Intuitivement, le commutateur de deux observable permet de quantifier à quel point les grandeurs associées sont mesurables simultanément. Les relations de commutation canoniques impliquent que les commutateurs ${\displaystyle \left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{j}\right]=i\hbar {\hat {1}}}$, où ${\displaystyle \textstyle {\hat {1}}}$ est l'opérateur identité, ne sont pas nuls^[a], et donc que les grandeurs associées ne peuvent pas être déterminées simultanément avec une précision arbitraire. C'est ce qu'on appelle le principe d'indétermination de Heisenberg, formalisé par les inégalités de Heisenberg^[3] :$${\displaystyle \sigma _{R_{j}}\sigma _{P_{j}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$$

Où ${\displaystyle \sigma _{R_{j}}}$ et ${\displaystyle \sigma _{P_{j}}}$ sont respectivement l'écart-type sur la position et l'écart-type sur l'impulsion.

La principale conséquence du principe d'indétermination est qu'en mécanique quantique on ne peut pas associer une trajectoire bien définie à une particule. Cependant, il existe des interprétations alternatives de la mécanique quantique qui permettent de définir de telles trajectoires en proposant une autre définition de l'opérateur impulsion. Ces théories — dont la théorie de de Broglie-Bohm fait partie — sont très peu connues et déconsidérées par les physiciens.

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L'impulsion est égale à la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une énergie potentielle.

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]

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