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En [[mathématiques]], la '''coïndicatrice''' (ou '''co-indicatrice'''){{Refnec|date=15 novembre 2021}} ({{En langue|en|cototient}}) est une [[fonction arithmétique]] de la [[théorie des nombres]], construite à partir de l'[[Indicatrice d'Euler|indicatrice d'Euler φ]]. Elle associe à tout [[entier naturel]] {{Mvar|n}} non nul le nombre {{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}), qui représente le nombre d'entiers compris entre 1 et {{Mvar|n}} (inclus) et qui ne sont pas [[Nombres premiers entre eux|premiers avec]] {{Mvar|n}} (de manière équivalente, qui ont avec {{mvar|n}} au moins un facteur premier commun).

== Exemples et propriétés ==
Les 99 premières valeurs de la fonction coïndicatrice sont présentées dans le tableau suivant ({{OEIS|id=A051953}}) :
{| class="wikitable"
! {{mvar|n}} – φ({{mvar|n}})
! +0 || +1 || +2 || +3 || +4 || +5 || +6 || +7 || +8 || +9
|- 
! 0+ 
| &nbsp; || 0 || 1 || 1 || 2 || 1 || 4 || 1 || 4 || 3
|-
!10+ 
| 6 || 1 || 8 || 1 || 8 || 7 || 8 || 1 || 12 || 1
|- 
!20+ 
| 12 || 9 || 12 || 1 || 16 || 5 || 14 || 9 || 16 || 1
|-
!30+ 
| 22 || 1 || 16 || 13 || 18 || 11 || 24 || 1 || 20 || 15
|-
!40+
| 24 || 1 || 30 || 1 || 24 || 21 || 24 || 1 || 32 || 7
|-
!50+
| 30 || 19 || 28 || 1 || 36 || 15 || 32 || 21 || 30 || 1
|-
!60+ 
| 44 || 1 || 32 || 27 || 32 || 17 || 46 || 1 || 36 || 25
|-
!70+ 
| 46 || 1 || 48 || 1 || 38 || 35 || 40 || 17 || 54 || 1
|-
!80+
| 48 || 27 || 42 || 1 || 60 || 21 || 44 || 31 || 48 || 1
|-
!90+ 
| 66 || 19 || 48 || 33 || 48 || 23 || 64 || 1 || 56 || 39
|}

* Il est à noter que pour {{mvar|n}} premier, {{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = 1.
* D'après les propriétés d'inégalités de l'indicatrice d'Euler, un encadrement de la valeur de la coïndicatrice peut être fourni. Pour tout [[nombre composé]] {{Mvar|n}} > 6 : <math>\sqrt{n} \leq n-\varphi(n)\leq n -\sqrt{n}</math>

La fonction coïndicatrice en tant que telle n'est pas spécialement étudiée ; deux catégories de nombres définis à partir de la coïndicatrice ont fait l'objet d'études spécifiques : les nombres anticoïndicateurs et les nombres hautement coïndicateurs. De la même façon que sont construits les nombres [[Anti-indicateur|anti-indicateurs]] et les [[Nombre hautement indicateur|nombres hautement indicateurs]] avec l'indicatrice d'Euler, les nombres anticoïndicateurs et les nombres hautement coïndicateurs dérivent de propriétés spécifiques de l'[[Image (mathématiques)|image]] de la coïndicatrice.
{| class="wikitable"
|'''{{Mvar|k}}'''
|1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 ||10
|-
|'''{{Mvar|n}}''' vérifiant  {{Nobr|1={{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = {{mvar|k}}}}
|tous les nombres premiers || 4 || 9 || 6, 8 || 25 || 10 || 15, 49 || 12, 14, 16 || 21, 27 || /
|-
|'''Nombre de solutions de ''x'' – φ(''x'') = ''k''''' ({{OEIS2C|id=A063740}})
|∞ || 1 || 1 || 2 || 1 || 1 || 2 || 3 || 2 || 0
|-
|<nowiki>Hautement coïndicateur (HC) | Anticoïndicateur (AC)</nowiki>
| &nbsp; || HC || &nbsp; || HC || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp; ||HC || &nbsp; ||AC
|}

Plus précisément, les nombres anticoïndicateurs sont les nombres {{Mvar|k}} n'admettant pas d'[[Antécédent (mathématiques)|antécédents]] par la coïndicatrice. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers {{Mvar|k}} tels que l'équation {{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = {{Mvar|k}} ne possède pas de solution.

Les nombres hautement coïndicateurs sont les nombres {{Mvar|k}} admettant plus d'antécédents par la coïndicatrice que tout entier {{Mvar|l}} < {{Mvar|k}}. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers {{Mvar|k}} tels que l'équation {{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = {{Mvar|k}} possède plus de solution que chacune des équations {{Nobr|1={{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = {{mvar|l}}}} pour tout 1 < {{Mvar|l}} < {{Mvar|k}}. 
<!--{| class="wikitable"
|'''{{Mvar|k}}'''
|1
|'''2'''
|3
|'''4'''
|5
|6
|7
|'''8'''
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|16
|17
|18
|19
|20
|21
|22
|'''23'''
|24
|25
|-
|'''{{Mvar|n}}''' vérifiant  {{Nobr|1={{mvar|n}} – φ({{mvar|n}}) = {{mvar|k}}}}
|tous les nombres premiers
|4
|9
|6, 8
|25
|10
|15, 49
|12, 14, 16
|21, 27
|/
|35, 121
|18, 20, 22
|33, 169
|26
|39, 55
|24, 28, 32
|65, 77, 289
|34
|51, 91, 361
|38
|45, 57, 85
|30
|95, 119, 143, 529
|36, 40, 44, 46
|69, 125, 133
|-
|'''Nombre de solutions de ''x'' – φ(''x'') = ''k''''' ({{OEIS2C|id=A063740}})
|∞
|1
|1
|2
|1
|1
|2
|3
|2
|0
|2
|3
|2
|1
|2
|3
|3
|1
|3
|1
|3
|1
|4
|4
|3
|}-->

== Nombre anticoïndicateur ==
En [[mathématiques]], un {{refnec|'''anticoïndicateur'''}} est un [[Entier naturel|entier strictement positif]]  ''n'' qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier ''m'' > 0 et le nombre des entiers compris entre 1 et ''m'' et [[Premiers entre eux|premiers avec]] ''m''. Exprimé algébriquement, pour un tel ''n'', l'équation ''m'' – φ(''m'') = ''n'' ne possède pas de solution, où ''m'' est l'inconnue, et φ désigne la [[Fonction (mathématiques)|fonction]] [[indicatrice d'Euler]].

La [[Suite (mathématiques)|suite]] des anticoïndicateurs ({{OEIS|id=A005278}}) commence par : [[10 (nombre)|10]], [[26 (nombre)|26]], [[34 (nombre)|34]], [[50 (nombre)|50]], [[52 (nombre)|52]].

=== Propriétés ===
[[Paul Erdős]] et [[Wacław Sierpiński]] se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par {{Lien|Jerzy Browkin}} et [[Andrzej Schinzel]] (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2<sup>''k''</sup> × {{formatnum:509203}} est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca<ref>{{Article|lang=en|prénom=A.|nom=Flammenkamp|prénom2=F.|nom2=Luca|titre=Infinite families of noncototients|revue=Colloq. Math.|vol=86|numéro=1|année=2000|zbl=0965.11003|p.=37-41}}.</ref> ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, d'anticoïndicateurs.<!--à vérifier et sourcer, cf l'article anglais, son historique et sa PdD : Néanmoins, on ne sait toujours pas si l'ensemble des anticoïndicateurs possède une [[densité de Schnirelmann]] positive basse.-->

=== Conjectures ===
Il a été [[Conjecture|conjecturé]] que tous les anticoïndicateurs sont pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être anticoïndicateur<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Suite A005278 |url=https://oeis.org/A005278 |site=https://oeis.org/ |extrait=Commentaires de Benoit Cloitre, Mar 03 2002 |page=}}</ref>. Ceci découle d'une forme modifiée de la [[conjecture de Goldbach]] : si le nombre [[Parité (arithmétique)|pair]] ''n'' peut être représenté comme une somme de deux [[Nombre premier|nombres premiers]] ''distincts'' ''p'' et ''q'', alors

: <math>pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1~.</math>

Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre [[Parité (arithmétique)|impair]] plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est anticoïndicateur. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).

== Nombre hautement coïndicateur ==
En [[mathématiques]] — plus précisément en [[théorie des nombres]] — un '''nombre hautement coïndicateur''' (ou '''hautement co-indicateur''') est un [[entier naturel]] ''n'' > 1 tel que pour tout entier ''k'' strictement compris entre 1 et ''n'', l'[[équation]] {{nobr|1=''x'' − φ(''x'') = ''k''}} — où φ est l'[[indicatrice d'Euler]] — a moins de solution que {{nobr|1=''x'' − φ(''x'') = ''n''.}}

On exclut ''k'' = [[1 (nombre)|1]] dans la définition parce que l'équation {{nobr|1=''x'' − φ(''x'') = 1}} a une infinité de solutions (les [[nombres premiers]]).

Les trente et un<!--typo autant licite que celle de 1990--> premiers termes de la [[Suite d'entiers|suite des entiers]] hautement coïndicateurs ({{OEIS|id=A100827}}) sont

{{Retrait|2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889.}}

=== Propriétés ===
« Beaucoup » de nombres hautement coïndicateurs sont [[Impair|impairs]] (comme ceux de 23 à 1889) et même [[Congruence sur les entiers|congrus à –1 modulo 10]] (comme ceux de 209 à 1889).

De même que les [[Nombre hautement composé|nombres hautement composés]], les nombres hautement coïndicateurs forment un ensemble infini, et à mesure qu'ils augmentent, les calculs sont de plus en plus longs, puisqu'ils mettent en jeu la [[décomposition en produit de facteurs premiers]].

=== Hautement coïndicateurs premiers ===
Les quatorze premiers termes de la suite des nombres à la fois hautement coïndicateurs et [[Nombre premier|premiers]] ({{OEIS|id=A105440}}) sont
{{Retrait|2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839.}}

== Notes et références ==
<references responsive="1" group=""></references>

=== Voir aussi ===

* [[Anti-indicateur]]
* [[Nombre hautement indicateur]]

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