L'amplification de Zel'dovich, effet Zel'dovich ou encore superradiance rotationnelle est un phénomène physique prédit par Iakov Zel'dovich en 1971, par lequel une onde porteuse de moment angulaire orbital est amplifiée par diffusion sur un milieu dissipatif en rotation. Cette amplification est la manifestation d'un transfert d'énergie de rotation du milieu à l'onde se produisant lorsque le système vérifie la condition de Zel'dovich-Misner

${\displaystyle \omega -m\Omega <0}$ 

où ${\displaystyle \Omega }$  est la vitesse angulaire de rotation du milieu, ${\displaystyle \omega }$  est la pulsation de l'onde et ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$  est l'ordre du moment angulaire de l'onde projeté sur l'axe de rotation. Cette condition rend généralement l'observation du phénomène difficile, nécessitant des vitesses de rotation très élevées et/ou de grandes longueurs d'onde. Bien que les travaux de Zel'dovich concernent l'amplification d'ondes électromagnétiques par un cylindre métallique tournant, les premières observations expérimentales sont réalisées en 2020 avec des ondes sonores se propageant dans de la mousse absorbante^[1]. En 2024, une expérience sur un circuit résonant interagissant avec un cylindre métallique valide l'existence de l'effet Zel'dovich pour des ondes électromagnétiques^[2].

L'effet Zel'dovich fait également parfois référence à l’émission spontanée de photons par un milieu dissipatif en rotation dans le vide, à l'origine d'un ralentissement de la rotation du milieu^[3]. Ce phénomène, également conjecturé par Zel'dovich en prenant en compte la mécanique quantique, est le pendant de la superradiance rotationnelle, conséquence du lien entre émission stimulée et émission spontanée montré par Einstein.

La superradiance rotationnelle est un cas particulier de superradiance inertielle, possédant des liens étroits avec d'autres phénomènes comme l'effet Doppler, la diffusion superradiante de Penrose (c'est-à-dire l'amplification d'ondes par un trou noir de Kerr) ou encore le rayonnement de Hawking.

En 1969, Penrose prédit qu'une particule massive tombant dans un trou noir acquiert une énergie négative en traversant son ergosphère^[4]. De cette démonstration, il suggéra qu’une civilisation technologiquement avancée pourrait extraire de l’énergie du mouvement de rotation d'un trou noir, en récupérant une partie d'un corps (émis depuis une structure co-rotative avec le trou noir) se scindant dans son ergosphère, gagnant de l’énergie pour compenser l'énergie négative de la partie absorbée.

Dans une remarquable démonstration d'intuition physique synthétisée par un court article de deux pages publié en 1971 ("Generation of waves by a rotating body"), Zel'dovich adapta l'idée de Penrose à des ondes électromagnétiques diffusées par un corps à symétrie axiale en rotation. Par des calculs ..., il démontra qu'un corps fait d'un matériau absorbant les ondes lorsqu'il est au repos, est capable de les amplifier lorsqu'il est mis en rotation.

[Zel'dovich cylindre amplification+emission spontanée] Par des calculs purement classiques basés sur les équations de Maxwell, Zel’dovich adapta cette idée de superradiance rotationnelle au cas d’un absorbeur en rotation, comme un cylindre métallique, montrant que celui-ci pourrait amplifier les ondes électromagnétiques incidentes, y compris les fluctuations du vide, si elles possédaient un moment angulaire. Zel'dovich s'est rendu compte que, à l’aide de l’électrodynamique quantique, q'un objet en rotation devrait être capable d'émettre spontanément et donc rayonner de l’énergie électromagnétique, ce qui entraîne un ralentissement de sa rotation

[Zel'dovich trou noir] Dans une remarquable démonstration d’intuition physique, Zel'dovich en déduit par analogie que le principe devrait également s’appliquer aux fluctuations gravitationnelles du vide entourant un trou noir, de sorte qu'un trou noir de Kerr en rotation devrait présenter à la fois une amplification et une émission spontanée, et doivent donc s’évaporer spontanément, en contradiction avec la compréhension fondée sur les solutions du vide en relativité générale. [Misner trou noir] Misner a indépendamment suggéré que si des ondes gravitationnelles réelles (et non les ondes virtuelles associées aux fluctuations de vide) se dirigent vers un trou noir en rotation, elles seront amplifiées, et l'a étayé par des calculs non publiés. L'émission spontanée correspondante a été mise en évidence théoriquement pour la première fois par Unruh [Hawking] Ces concepts, impliquant trous noirs et fluctuations du vide, convergèrent dans la prédiction de Stephen Hawking en 1974 selon laquelle même les trous noirs non-rotatifs amplifient les fluctuations quantiques, dissipant ainsi leur énergie et finissant par s’évaporer.

[Poursuite des recherches sur le cylindre]

[Bekenstein 1998]

Zel'dovich s'est rendu compte que, lorsque la physique quantique est prise en compte, l'objet en rotation devrait être capable d'émettre spontanément dans le régime 1, et a prévu qu'un trou noir de Kerr en rotation devrait présenter à la fois une amplification et une émission spontanée lorsque la condition 1 est satisfaite. Misner a indépendamment suggéré que le trou noir de Kerr amplifie les ondes, et l'a étayé par des calculs non publiés. L'émission spontanée correspondante a été mise en évidence théoriquement pour la première fois par Unruh.

[Faccio 2019]

En 1969, Penrose a avancé l’idée qu’il devrait être possible d’extraire de l’énergie du mouvement de rotation d’un trou noir en rotation. Cette proposition a ensuite été approfondie en 1971 par Zel’dovich, qui a suggéré que les trous noirs en rotation doivent s’évaporer spontanément, en contradiction avec la compréhension fondée sur les solutions du vide en relativité générale [4]. Dans une remarquable démonstration d’intuition physique, Zel’dovich a appuyé cette affirmation en utilisant un système analogique, celui d’une sphère métallique en rotation. Dans ce système, les fluctuations du vide électromagnétique, constituées de photons virtuels ayant une énergie correspondant à celle du point zéro, sont transformées en photons réels, l’énergie étant prélevée sur l’énergie de rotation de la sphère.

Dans des travaux subséquents, Zel’dovich et ses collaborateurs ont démontré, à l’aide de l’électrodynamique quantique [5,6], qu’un cylindre métallique plongé dans le vide électromagnétique doit rayonner de l’énergie électromagnétique, ce qui entraîne un ralentissement de sa rotation [7,8].

Zel’dovich a soutenu que ce principe, appliqué aux fluctuations de vide électromagnétique entourant un milieu conducteur en rotation, devrait également s’appliquer aux fluctuations gravitationnelles du vide, ou gravitons virtuels, entourant un trou noir, de sorte que les trous noirs en rotation doivent émettre un rayonnement [4].

Misner a quant à lui proposé que si des ondes gravitationnelles réelles (et non les ondes virtuelles associées aux fluctuations de vide) se dirigent vers un trou noir en rotation, elles seront amplifiées [9], un phénomène qu’il a nommé « superradiance » [10].

Depuis ces travaux fondateurs, il est devenu évident que l'ensemble des idées entourant le rayonnement des corps en rotation baignés dans le vide quantique (désormais connu sous le nom d'effet de Zel’dovich), ou l'amplification des ondes réelles incidentes sur un corps en rotation absorbant (désignée comme superradiance), est largement généralisable, comme l'avait envisagé Zel’dovich. En effet, ces concepts s’appliquent à des systèmes d’ondes aussi divers que la gravitation [9–11], l’optique non linéaire [12–14], les ondes de matière pour les atomes froids [15–17], et comprennent également l'amplification des ondes hydrodynamiques dans les écoulements non homogènes [18].

[Cromb 2020]

En 1969, Roger Penrose proposa une méthode pour extraire l’énergie de rotation d’un trou noir en rotation, un processus aujourd'hui connu sous le nom de *superradiance de Penrose*¹. Penrose suggéra qu’une civilisation avancée pourrait un jour puiser l’énergie d’un trou noir en rotation en abaissant puis en relâchant une masse depuis une structure co-rotative avec le trou noir.

Yakov Zel’dovich adapta cette idée de superradiance rotationnelle au cas d’un absorbeur en rotation, comme un cylindre métallique, montrant que celui-ci pourrait amplifier les ondes électromagnétiques incidentes, y compris les fluctuations du vide, si elles possédaient un moment angulaire²–⁴. Ces concepts, impliquant trous noirs et fluctuations du vide, convergèrent dans la prédiction de Stephen Hawking en 1974 selon laquelle même les trous noirs non-rotatifs amplifient les fluctuations quantiques, dissipant ainsi leur énergie et finissant par s’évaporer.

Des expériences en laboratoire analogues ont confirmé ces phénomènes : la superradiance de Penrose, ou diffusion superradiante, observée sous forme de « surréflexion » dans les tourbillons hydrodynamiques classiques⁵,⁶, et des formes classiques des prédictions de Hawking dans des écoulements d’eau⁷ et en optique⁸,⁹, ainsi qu’un analogue quantique dans les superfluides.

[Braidotti 2024]

Les fréquences ou énergies négatives dans un système en rotation, déjà étudiées par Penrose dans le contexte des trous noirs en rotation, ont été identifiées comme un facteur d’amplification : en effet, une particule tombant dans un trou noir acquiert une énergie négative en traversant l’ergosphère (point où la vitesse de traînée de l’espace-temps dépasse celle de la lumière)⁴. Penrose a ainsi démontré que si la particule ou la masse se scinde et qu’une partie échappe ou ne tombe pas dans le trou noir, elle doit nécessairement gagner de l’énergie pour compenser l’énergie négative de la partie absorbée par le trou noir. Dans la proposition de Zel’dovich, le trou noir est remplacé par un cylindre en rotation, qui n’a toutefois pas besoin de tourner plus vite que la vitesse de la lumière. Par des calculs purement classiques basés sur les équations de Maxwell, Zel’dovich a prédit l’amplification des ondes électromagnétiques.

[Liu 2024]

En 1969, Penrose a proposé une méthode pour extraire l'énergie d'un trou noir en rotation en abaissant puis en libérant une masse à partir d'une structure en rotation avec le trou noir, connue aujourd'hui sous le nom de superradiance de Penrose. Ce concept a ensuite été étendu par Zeldovich à la prédiction de l'amplification des ondes classiques transportant le moment angulaire orbital (MAO) réfléchies par un cylindre absorbant en rotation.

La superradiance de Penrose en astrophysique n’a pas encore été observée avec les technologies actuelles, en partie à cause des grandes distances entre la Terre et les trous noirs en rotation les plus proches⁶,⁷.

Dans son deuxième article sur la superradiance rotationnelle publié en 1972, Zel'dovich présente les résultats de calculs théoriques sur le phénomène d'amplification prédit par son article fondateur de 1971 en imaginant une onde électromagnétique diffusée par un cylindre dissipatif en rotation non relativiste, se propageant dans la direction perpendiculaire à l'axe du cylindre, noté ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}={\boldsymbol {\Omega }}/|\Omega |}$  ici. Comme noté par Zel'dovich, seules les ondes polarisées linéairement parallèlement ou perpendiculairement à l'axe du cylindre sont nécessaires à étudier. De ces polarisations dépendra le mode excité dans le milieu, conduisant à des amplifications distinctes. En vue des symétries du problème, l'onde incidente considérée plane et harmonique peut être décomposée sur ses modes orbitaux ${\displaystyle (m)_{m\in \mathbb {Z} }}$  en coordonnées cylindriques, de sorte que l'étude peut être menée sur chacune de ces harmoniques indépendamment.

La démonstration théorique d'amplification s'effectue en deux temps:

1. La résolution des équations de l'électromagnétisme dans un milieu dissipatif en rotation, suffisante pour prouver la condition d'amplification de Zel'dovich-Misner par un calcul de flux électromagnétique,
2. La résolution du problème de diffusion par un cylindre en rotation, nécessaire pour quantifier l'amplification à partir des conditions initiales données par l'onde incidente.

Les travaux sur la superradiance rotationnelle, basés sur l'électrodynamique relativiste, sont généralement présentés dans un formalisme covariant. Ce formalisme n'étant pas nécessaire pour traiter le problème du cylindre de Zel'dovich étudié depuis le référentiel inertiel du laboratoire dans un espace-temps plat (les effets gravitationnels sont négligés), la démonstration peut se restreindre au formalisme de Maxwell-Minkowski par simplicité.

Ce formalisme suppose que les relations de constitution des champs sont connues dans le référentiel de repos instantané, tournant avec le milieu. Pour un milieu possédant une permittivité diélectrique relative ${\displaystyle \epsilon }$  et amagnétique, ces relations s'expriment (en notant avec un prime les grandeurs exprimées dans le référentiel de repos instantané) :

${\displaystyle \mathbf {D} '=\epsilon _{0}\epsilon \mathbf {E} '\quad {\textrm {et}}\quad \mathbf {B} '=\mu _{0}\mathbf {H} '.}$ 

En toute rigueur, ces relations de constitution devraient prendre en compte les effets inertiels induit par le mouvement de rotation. Plusieurs travaux ont en effet démontré que les forces fictives de Coriolis et centrifuge introduisent de l'anisotropie dans la réponse diélectrique du milieu. En conséquence, la permittivité et la susceptibilité ne seraient plus des grandeurs scalaires mais des tenseurs sous forme de matrices (3,3). Ces effets n'étant prépondérants que dans des configurations spécifiques, notamment près des résonances, ils sont généralement négligés.

Les relations de constitutions équivalentes exprimées dans le référentiel d'étude du laboratoire sont obtenues en appliquant les transformations de Lorentz des champs. Couplées aux équations de Maxwell classiques, le système obtenu forme la base de l'électrodynamique relativiste des milieux en rotation. Une méthode analogue, utilisée par Zel'dovich et retrouvée dans des travaux ultérieurs, consiste à appliquer directement les transformations de Lorentz à l'équation d'onde exprimée dans le référentiel de repos instantané, via un changement de variables sur les opérateurs différentiels de l'équation.

En vue des symétries du problème est des équations de continuité des champs, les solutions sur les harmoniques orbitales peuvent être cherchées sous la forme ${\displaystyle \mathbf {E} _{m}^{(t)}=E_{m}^{(t)}f_{m}(r){\rm {e}}^{{\rm {i}}(m\theta -\omega t)}{\hat {\mathbf {z} }}}$  pour le mode axial électrique (AE) (polarisation incidente parallèle) et ${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{(t)}=H_{m}^{(t)}f_{m}(r){\rm {e}}^{{\rm {i}}(m\theta -\omega t)}{\hat {\mathbf {z} }}}$  pour le mode axial magnetique (AM) (polarisation incidente perpendiculaire), en utilisant la méthode de séparation des variables en coordonnées cylindriques. Les amplitudes ${\displaystyle E_{m}^{(t)},H_{m}^{(t)}\in \mathbb {C} }$  peuvent être déterminées en utilisant les conditions de bord. La résolution du système sur les champs fournit une équation différentielle ordinaire pour la partie radiale de la solution de type équation de Bessel.

Les pertes et les gains des processus de diffusion sont généralement quantifiés par un calcul de puissance électromagnétique traversant une surface choisie. Conséquence du théorème de Poynting, cet observable est donné par la moyenne temporelle du vecteur de Poynting instantané à travers cette surface :

${\displaystyle {\overline {W}}\doteq \int \!\!\!\!\int _{S}{\overline {\boldsymbol {\Pi }}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\int \!\!\!\!\int _{S}\Re \left[\mathbf {E} \times {\mathbf {H} }^{*}\right]\cdot \mathbf {{\rm {d}}S} }$ 

où ${\displaystyle \mathbf {E} }$  et ${\displaystyle \mathbf {H} }$  représentent l'ensemble des champs électromagnétique traversant la surface. Dans le cadre spécifique du problème de Zel'dovich, seule la composante radiale du flux est pertinente à évaluer. La surface à considérer peut donc être un cylindre de rayon ${\displaystyle r}$  centré sur l'axe de rotation et de hauteur unitaire. En ${\displaystyle r=R}$ , les équations de continuité des champs assurent que ${\displaystyle \mathbf {E} }$  et ${\displaystyle \mathbf {H} }$  peuvent représentés à la fois les champs extérieurs au cylindre (incidents et réfléchis) ou les champs transmis dans le cylindre.

En travaillant sur la solution du champ transmis, un calcul sur le wronskien de la partie radiale du champ et son conjugué donne pour l'harmonique ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$  du mode axial électrique :

${\displaystyle {\overline {W}}_{m}^{\textrm {AE}}=-\pi |E_{m}^{(t)}|^{2}\sigma (\omega -m\Omega )\int _{0}^{R}\xi |J_{m}(\kappa _{m}\xi )|^{2}~{\rm {d}}\xi }$ 

où ${\displaystyle J_{m}}$  est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre ${\displaystyle m}$  et

${\displaystyle \kappa _{m}={\frac {\omega }{c}}\left\{1+\left(\epsilon -1+{\rm {i}}{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}(\omega -m\Omega )}}\right)\left(1-{\frac {m\Omega }{\omega }}\right)^{2}\right\}^{1/2}}$ 

est le vecteur d'onde exprimé en coordonnées cylindriques de l'onde dans le milieu. Sachant que ${\displaystyle \sigma \geq 0}$  en vertu du second principe de la thermodynamique, l'expression du flux calculé démontre immédiatement qu'une amplification ${\displaystyle ({\overline {W}}_{m}>0)}$  est possible dès lors que la condition de Zel'dovich-Misner ${\displaystyle \omega -m\Omega <0}$  est vérifiée. L'expression montre également qu'un milieu non-dissipatif ${\displaystyle (\sigma =0)}$  entraîne une conservation du flux ${\displaystyle ({\overline {W}}_{m}=0)}$  ne pouvant pas entraîner de superradiance rotationnelle. Un calcul analogue pour le mode axial magnétique conduit aux mêmes conclusions.

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${\displaystyle {\overline {W}}_{m}^{\textrm {AE}}{\underset {kR\ll 1}{\sim }}-{\frac {\pi R^{2}|E^{(0)}|^{2}}{2}}\sigma (\omega -m\Omega )\left({\frac {\omega R}{2c}}\right)^{2|m|}\left({\frac {1}{|m|!}}\right)^{2}{\frac {1}{|m|+1}}.}$ 

${\displaystyle {\overline {W}}_{m}^{\textrm {AM}}{\underset {kR\ll 1}{\sim }}-{\frac {4\pi |H^{(0)}|^{2}}{\epsilon _{0}\omega }}{\frac {|m|}{(|m|!)^{2}}}\left({\frac {R\omega }{2c}}\right)^{2|m|}{\frac {\epsilon _{0}^{-1}\sigma (\omega -m\Omega )}{\left(1+\epsilon \right)^{2}(\omega -m\Omega )^{2}+\epsilon _{0}^{-2}\sigma ^{2}}}}$ 

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Plusieurs expériences de laboratoire ont permis de valider la condition de Zel'dovich-Misner nécessaire pour observer de la superradiance. Ces dispositifs avait pour objectif de recréer en laboratoire des conditions analogues à la diffusion par un trou noir en rotation de Penrose.

La première observation d'une amplification de Zel'dovich, au sens d'une amplification d'onde induite par échange de moment angulaire avec un cylindre en rotation, est réalisée en 2020 par une équipe de recherche de l'Université de ... Le dispositif utilisé... Le choix d'utiliser des ondes sonores plutôt que des ondes électromagnétiques est motivé par les grandes longueurs d'ondes accessibles, permettant d'atteindre la condition d'amplification à des vitesses de rotations facilement atteignables en laboratoire ${\displaystyle (\Omega \sim 20~{\textrm {Hz}})}$ . ... confirmé le modèle théorique utilisé pour l'étude basé sur l'approximation de Born-Oppenheimer.